Контрольное задание №1

Упростить выражение.

.............................................

Контрольное задание №2

С помощью диаграмм Эйлера-Венна решите следующие задачи:

1. Лекции по экономике посещают 20 студентов, по математике – 30. Найти число студентов, посещающих лекции по экономике или математике, если:

А) лекции проходят в одно и то же время.

В) лекции проходят в разные часы  и 10 студентов слушают оба курса.

2. В ящике лежат 120 деталей, из них на автомате №1 обработано 82 штуки, на автомате №2 – 23, а на автомате №3 – 42 штуки. 18 деталей было обработано на автоматах №1 и №2, 17 деталей на автоматах №1 и №3 и 15 – на автоматах №2 и №3. 10 деталей прошли обработку на всех трех автоматах. Сколько деталей не обработано ни на одном из автоматов?

3. Управление имеет 150 предприятий, из них 80 выпускают продукцию А, 60 продукцию В и 50 продукцию С. Продукцию А и В выпускают 20 предприятий, продукцию В и С – 30 предприятий, продукцию А и С – 10. Сколько предприятий управления не выпускают ни одного из указанных видов продукции, если все виды продукции А, В и С выпускают 5 предприятий.

4. Среди 100 студентов института иностранными языками занимались: немецким – 30 человек, французским – 42 человека, испанским – 28, испанским и немецким – 8 человек, немецким и французским – 5 человек,  испанским и французским – 10; три студента изучали все три языка. Сколько студентов изучали французский язык? Сколько студентов не изучали ни одного из иностранных языков?

5. В отчете об обследовании 100 студентов сообщалось, что количество студентов, изучающих немецкий, французский и английский язык таково: все три языка изучают 5 человек, немецкий и английский – 10, французский и английский – 8, немецкий и французский – 20, английский язык – 30 человек, немецкий – 23, французский – 50. инспектор, представивший этот отчет, был уволен. Почему?

6. Исследование заболеваний раком показало, что доля курильщиков среди тех, кто болен раком легких, больше доли курильщиков, не больных этим заболеванием. Доказать, что процент курильщиков, болеющих раком легких, больше, чем процент некурящих, больных раком легких.

7. При обследовании читательских вкусов студентов оказалось, что 60%  студентов читают журнал А, 50% - журнал В, 50% журнал С, 30% - журналы А и В, 20% - журналы В и С,  40% - журналы А и С,  10% - журналы А, В и С. Сколько процентов студентов 

1) не читают ни одного из журналов

2) читают два журнала

3)читают не менее двух журналов?

8. На одной из кафедр университета работают тридцать человек, причем каждый из них знает хотя бы один иностранный язык. Десять человек знают английский, семь – немецкий, шесть – французский. Пять человек знают английский и немецкий, четыре – английский и  французский, три – немецкий и французский.  Сколько человек  

1)знают все три языка

2) знают два языка

3) знают только английский язык?

9. На курсах иностранных языков (английский, французский, немецкий языки) учатся 300 человек. Сколько человек изучают каждый из указанных языков и сколько человек изучают  2 языка одновременно, если известно, что

1) слушатели, изучающие английский язык, не изучают немецкого.

2) число слушателей, изучающие английский  или французский язык, равно 230 и равно числу слушателей, изучающих французский или немецкий язык.

3) число слушателей, изучающих английский или немецкий языки, равно 250, а число слушателей, изучающих английский и французский языки равно 60?

10. Группа студентов в 36 человек сдавала экзаменационную сессию. Отличников в группе 5 человек. Число студентов, сдавших сессию только на «отлично» и «хорошо», равно числу студентов, сдавших сессию только на удовлетворительные оценки.  3 студента получили только хорошие оценки;  2 человека получили отличные, хорошие и удовлетворительные оценки; 11 человек получили только хорошие и удовлетворительные оценки. Удовлетворительные или хорошие оценки получили всего 28 человек. Студентов, получивших только отличные и удовлетворительные оценки, нет. Сколько студентов сдало сессию только на удовлетворительно? Сколько студентов  получили отличные оценки? Сколько студентов не явились на экзамены?

Контрольное задание №3

Дать геометрическую интерпретацию следующих бинарных отношений. Ответить на следующие вопросы:

А) Какова область определения и область значений бинарного отношения?

Б) Является ли оно функциональным и, если "да”, то каков его тип?

В) Обладает ли оно свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности?

Г) Является ли оно одним из специальных бинарных отношений и если "да”, то каким?

1.    R={<x,y>½x,yÎD, x +y≤0}

2.    R={<x,y>½x,yÎD, x +2y≤0}

3.    R={<x,y>½x,yÎ[-p/2,p/2], y≥Sinx}

4.    R={<x,y>½x,yÎZ, x≤y≤x²}

5.    R={<x,y>½x,yÎD, êxú + êyú ≤1}

6.    R={<x,y>½x,yÎD, x²+y²≤a²}

7.    R={<x,y>½x,yÎD, êx-yú≤1}

8.    R={<x,y>½x,yÎD, 2x≥3y}

9.    R={<x,y>½x,yÎN, x² ≥y}

10.R={<x,y>½x,yÎ[0,p], y≤Cosx}

Контрольное задание №4

Для следующих высказываний выполнить:

А) Построить истинностные таблицы.

Б) Преобразовать их к формулам, содержащим только операции: отрицания, конъюнкция и дизъюнкция (максимально простым).

В) Убедиться в равносильности исходной и полученной формул, построив таблицу истинности последней.

................................................

Контрольное задание №5

Перечислить существенные переменные функций заданных таблицей  значений или реализуемых заданными формулами.

Функции, несущественно зависящие от некоторых переменных, свести к функциям от меньшего числа переменных.

1¸6.  Заданы следующие функции от трёх переменных x₁,x₂,x₃.Какие из переменных  являются существенными для каждой из функций?

7............

8............

9.............

10........... 

Контрольное задание №6

1. Между какими парами высказываний, приведенных ниже, существует отношение следствия?

S₁: Если прямая перпендикулярна радиусу окружности и проходит через точку пересечения радиуса с окружностью, то она – касательная к окружности.

S₂: Прямая есть касательная к окружности тогда и только тогда, когда она перпендикулярна к радиусу окружности и проходит через точку пересечения радиуса с окружностью.

S₃: Если прямая перпендикулярна к радиусу окружности, но не проходит через точку пересечения радиуса с окружностью, то она не является касательной к окружности.

2. Заданы следующие высказывания:

S₁: Если две прямые совпадают или не имеют общих точек, то они параллельны.

S₂: Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда они совпадают или не имеют общих точек.

S₃: Если две прямые не совпадают и не имеют общих точек, то они параллельны.

Между какими парами высказываний существует отношение следствия? Приведенные высказывания расположить таким образом, чтобы из каждого высказывания следовали все, стоящие после него.

3. Заданы следующие высказывания: если матч состоится, то Пётр и Сергей придут на него; Сергей или Пётр  придут на матч в том и только в том случае, если он состоится; если матч не состоится, то ни Пётр ни Сергей не придут на него. Между какими парами высказываний существует отношение следствия?

4. Расположите следующие 5 высказываний в таком порядке, чтобы из каждого высказывания следовали все, стоящие после него:

.........................

5.Имеем высказывание: «Для того чтобы матрица имела обратную матрицу, необходимо и достаточно, чтобы её определитель был отличен от нуля». Какие из приведенных ниже высказываний следуют из данного?

1)   Для того чтобы матрица имела обратную, достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю.

2)   Для того чтобы определитель матрицы был отличен от нуля, достаточно, чтобы эта матрица имела обратную.

3)   Для того чтобы определитель матрицы был равен нулю, необходимо, чтобы эта матрица не имела обратной.

4)   Матрица имеет обратную тогда и только тогда, когда её определитель равен нулю.

5)   Определитель матрицы равен нулю только тогда, когда эта матрица не имеет обратной.

Есть ли среди приведенных высказываний эквивалентные?

6. Какие из приведенных ниже высказываний являются эквивалентными?

1) Сидоров сдаст экзамен, если будет посещать лекции и заниматься самостоятельно.

2) Если Сидоров будет заниматься самостоятельно, но не посещать лекции, вряд ли он сдаст экзамен.

3) Сидоров сдаст экзамен только тогда, когда будет посещать лекции и заниматься самостоятельно.

4) Сидоров не сдаст экзамен, если не будет заниматься самостоятельно, даже если он будет посещать лекции.

5) Если Сидоров не сдаст экзамен, значит он не занимался самостоятельно или не посещал лекции.

6) Если Сидоров сдал экзамен, то он посещал лекции и занимался самостоятельно.

7. Какие из приведенных ниже высказываний эквивалентны?

1) Я решу эту задачу, только если пойму ее условие и хорошо буду знать теоретический материал.

2) Если я не смог решить задачу, значит я не знал теоретический материал или не понял условие задачи.

3) Если я хорошо знаю теоретический материал, но не понял условие задачи, решить задачу я не смогу.

4) Если не знаю теоретический материал или не понял условие задачи, то не смогу решить ее.

8. Как определить отношение следствия или эквивалентности между высказываниями с помощью диаграмм Эйлера-Венна?

9. С помощью диаграмм Эйлера-Венна определить, для каких пар высказываний, приведенных далее, имеет место отношение следствия или эквивалентности.

S₁: Иван и Петр правильно ответили на вопросы.

S₂: Если Иван правильно ответил на вопросы, то Петр – неверно.

S₃: Или Петр, или Иван неверно ответил на вопросы.

S₄: Или Иван неверно ответил на вопросы, или Петр правильно.

S₅: Иван верно ответил на вопросы, но Петр ошибся.

10.Пользуясь диаграммой Эйлера-Венна, определить, какие из приведенных пар высказываний, являются такими, что одно из них следует из другого.

1) ............

2) ............

3) .............

4) ...........

Контрольное задание №7

Проверить правильность каждого из следующих рассуждений тремя способами: построением соответствующей таблицы, преобразованием формулы и методом «от противного».

1. Проверить правильность рассуждения: если противоположные стороны четырёхугольника попарно равны, то он является параллелограммом. Четырехугольник является параллелограммом  тогда и только тогда, когда его диагонали делятся в точке пересечения пополам.    Противоположные стороны четырехугольника попарно равны. Следовательно, его диагонали делятся в точке пересечения пополам.

2. Проверить правильность рассуждения: если все стороны четырехугольника равны между собой, то он является ромбом. Если четырехугольник – ромб, то его диагонали перпендикулярны. Все стороны четырехугольника равны между собой. Следовательно, его диагонали перпендикулярны.

3. Правильно ли рассуждение:  если студент не понял материала лекции, но проработал ее самостоятельно, то он сделает домашнее задание. Студент не понял материала лекции, но сделал домашнее задание. Следовательно, он самостоятельно проработал материал лекции.

4. Проверить правильность следующего рассуждения: если Иванов хороший студент, он сделает типовой расчет самостоятельно. Если же Иванов плохой студент, он не будет сам решать  все задачи типового расчета. Иванов сделал типовой расчет  несамостоятельно. Следовательно, он плохой студент.

5. Правильно ли следующее рассуждение:  строители сдадут стадион в срок, если им помогут  студенты и хватит строительного материала. Студенты помогли строителям, но материала не хватило. Следовательно, стадион не был сдан вовремя.

6. Правильно ли рассуждение: если 2 – простое число, то это наименьшее простое число. Если  2 – наименьшее простое число, то 1 – не есть простое число. Число 1 -  не простое, следовательно, следовательно 2 -  простое число.

7. Если дискриминант квадратного уравнения не отрицателен, то уравнение имеет действительные корни. Следует ли из этого, что дискриминант не отрицателен.

8. Если монотонная последовательность ограничена, то она сходится. Однако, данная  последовательность не сходится. Следовательно, она не ограничена.

9. Если функция сложная, то используют универсальную подстановку. Данная функция проста. Следовательно, универсальная постановка не будет использована.

10.Дробь имеет смысл только тогда, когда ее знаменатель отличен от нуля. Знаменатель данной дроби равен нулю. Следовательно, дробь смысла не имеет.

Контрольное задание №8

С помощью ДНФ и КНФ (без построения таблицы истинности) установить тип формулы (в случае выполнимой формулы установить: является ли она тождественно истиной  или нейтральной).

.................................

Контрольное задание №9

Получить для формул из контрольного задания 8 СДНФ и СКНФ (если это возможно) с помощью равносильных преобразований (без построения таблицы истинности).

Контрольное задание №10

По функциям написать формулы и упростить их:

1.f (0,0,0) = f (0,0,1) = f (1,0,0) =1.

2.f (0,0,0) = f (0,0,1) = f (1,0,0) =0.

3.f (1,0,1) = f (0,1,1) = f (1,1,1) =1.

4.f (1,0,1) = f (0,1,1) = f (1,1,1) =0.

5.f (0,1,0) = f (1,1,0) = f (1,1,1) =0.

6.f (0,1,1) = f (1,0,0) = f (1,1,0) =1.

7.f (0,0,0) = f (0,1,0) = f (1,1,1) =0.

8.f (0,0,1) = f (1,0,0) = f (1,1,0) =1.

9.f (1,0,1,0) = f (0,0,1,0) =0.

10.f (1,1,0,0) = f (0,1,0,0) =1.

Контрольное задание №11

Упростить схемы:

1.

2.

Контрольное задание №12

Ввести предикаты на соответствующих областях (возможно многоместные) и записать с их помощью высказывания:

1. Через три произвольные точки проходит некоторая плоскость.

2. Через три различные точки проходит некоторая плоскость.

3. Через три различные точки проходит единственная  плоскость.

4. Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит некоторая плоскость.

5. Между двумя любыми точками на прямой лежит еще хотя бы одна точка.

6.Любая прямая лежит хотя бы в одной плоскости.

7. Сумма двух любых четных чисел четна.

8. Если сумма трех натуральных чисел не делится на простое число, то на него не делится, по крайней мере, одно из слагаемых.

9. Записать в виде логики предикатов определение простого числа.

10. записать в виде логики предикатов определение непрерывности функции.

Контрольное задание №13

Решить следующие задачи:

1.Задан граф G (X,ГX)

X={x₁,x₂,x₃,x₄,x₅}

ГХ: Гx₁={x₄}

Гx₂={x₁,x₄}

Гx₃={x₄,x₅}

Гx₄={x₁,x₅}

Гx₅={x₁,x₃}

Определить хроматическое и цикломатическое число данного графа.

2. Найти  числа внутренней и внешней устойчивости для графа

3. Найти число внутренней устойчивости для графов

4.Найти число внешней устойчивостей для графов

5. Для графов задачи 3 найти число внешней устойчивости, указать ядро графа.

6. Для графов задачи 4. найти число внутренней устойчивости, указать ядро графа.

7. Найти число внутренней устойчивости графа.

8. Найти число внешней устойчивости графа.

9. Определить числа внутренней и внешней устойчивости для графа.

10. Определить минимальное число часовых, необходимых для охраны 11. объектов, расположенных в вершинах графа. Объекты просматриваются по ребрам графа.

Контрольное задание №14

Решить следующие задачи:

1. Даны два графа

Произвести непосредственное сложение этих графов. Составить матрицы смежности и найти с их помощью пересечение графов.

2. Даны два графа своими матрицами смежности:

Составить матрицу смежности, соответствующую сумме и пересечению графов. Нарисовать диаграммы исходных и результирующих графов

3. Даны три графа: 

Составить их матрицы смежности. Найти граф G=(G₁UG₂)∩G₃  и построить его диаграмму.

4. Даны графы своими матрицами смежности

Найти матрицу смежности. графа G=(G₁UG₃)∩(G₂UG₃) и построить его диаграмму.

5. Даны два графа:

Построить диаграммы данных графов, составить их матрицы смежности. Найти сумму и пересечение данных графов непосредственно и с помощью матриц смежности.

6. Найти декартово произведение двух графов

7.  Найти декартово произведение графов, заданных с помощью матриц смежности

8. Даны матрицы инциденций двух графов. Найти их декартово произведение

9. Найти декартово произведение двух графов

10.Найти декартово произведение двух графов

Контрольное задание №15

1.Строится нефтепровод, соединяющий города х₁……x_11. Стоимость возможных участков строительства задана таблицей

Изобразить схему нефтепровода, стоимость строительства которого минимальна, и подсчитать минимальные затраты.

2. Каждый из шести городов может быть соединен с другим участком газопровода, стоимость строительства которого указана в таблице

Как построить самый дешевый нефтепровод, какова стоимость его строительства?

3.    10 городов, обозначенных на графе вершинами х₁…x_10, необходимо соединить электролинией.  Возможные соединения обозначены ребрами. Стоимость строительства на участке (х_i,x_j) обозначена соответствующим числом.

Определить стоимость строительства самой дешевой электролинии. Как она должна проходить?

4. На строительство электролинии между городами х₁…..х₇ отпущено 250 тысяч рублей. Стоимость строительства на возможных участках между городами х_i,х_j   l(х_i х_j) в тыс. руб. задана следующим образом:

Как построить электролинию, чтобы уложиться в эту смету?

5. Определить наименьшие затраты при перевозке груза из пункта х₀ в пункт х₆ через перевалочные пункты х₁,х₂,х₃,х₄,х₅. Стоимость перевозки груза из пункта х_i  в х_j указана на графе. Определить путь, соответствующий минимальной стоимости.

6. Из пункта А в пункт N перевозят однородный груз, используя перевалочные пункты В,С,D,Е,F,G. Расстояние между  пунктами, соединенными дорогами, указаны на графе. Определить кратчайший путь и его длину, предварительно пронумеровав вершины графа.

7. Пункты А и В связаны сетью дорог, проходящих через пункты С,D,Е,М,N. Стоимость проезда из пункта x_i в x_j указана на графе. Какова минимальная стоимость проезда из А и В?. Как проходит путь, соответствующий минимальным затратам?

8. Для графов задач 6, 7 определить критический путь и критическое время.

9. Основу строительства объекта составляют 14 операций, последовательность выполнения которых задана графом. Продолжительность каждой из них указана на графе.

Определить скорейшее время завершения всего проекта. Какие операции не допускают запаздывания по времени?

10.Найти кратчайший и длиннейший пути, соединяющие вход и выход графа, предварительно правильно пронумеровав вершины.