В задачах 1—20 даны координаты вершин треугольника ABC. Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты; 3) угол В в радианах с точностью до двух знаков; 4) уравнение высоты CD и ее длину; 5) уравнение медианы АЕ и координаты точки К пересечения этой медианы с высотой CD; 6) уравнение прямой, проходящей через точку К, параллельно стороне АВ; 7) координаты точки М, расположенной симметрично точке А относительно прямой CD.

1. A(-7;-2), B(5;-11), C(9;11).

2. A(-4;8),  B(8;-1), C(12;21).

3. A(-11;0),  B(1;-9), C(5;13).

4. A(-9;10),  B(3;1), C(7;23).

5. A(1;3), B(13;-6), C(17;16).

6. A(-8;7),  B(4;-2), C(8;20).

7. A(2;1), B(14;-8), C(18;14).

8. A(-3;11),  B(9;2), C(13;24).

9. A(3;6), B(15;-3), C(19;19).

10. A(0;5), B(12;-4), C(16;18).

11. A(-1;8), B(11;-1), C(9;13).

12. A(-5;9), B(7;0), C(5;14).

13. A(4;7), B(16;-2), C(14;12).

14. A(-9;6), B(3;-3), C(1;11).

15. A(-3;12), B(9;3), C(7;17).

16. A(-2;11), B(10;2), C(8;16).

17. A(5;2), B(17;-7), C(15;7).

18. A(-6;5), B(6;-4), C(4;10).

19. A(1;4), B(13;-5), C(11;9).

20. A(-4;10), B(8;1), C(6;15).

В задачах 21—25 составить уравнение геометрического места точек, равноудаленных от данной точки А (x₁, у₁) и данной прямой y=b. Полученное уравнение привести к простейшему виду и затем построить кривую.

21. A(2,5), y=1.

22. A(3,-4),  y=2.

23. A(-4,3),  y=-1.

24. A(-2,-3), y=-1.

25. A(1,-1),  y=3.

В задачах 26—30 составить уравнение геометрического места точек, отношение расстояний которых до данной точки А (х₁; у₁) и до данной прямой x=а равно числу . Полученное уравнение привести к простейшему виду и затем построить кривую.

26. A(6,0), x=1,5, =2.

27. A(3,0), x=4/3, =1,5.

28. A(10,0), x=2,5, =2.

29. A(2,0), x=4,5, =2/3.

30. A(3,0), x=12, =0,5.

В задачах 31—35 даны координаты точек А(х₁;у₁), b(х₂, у₂) и радиус окружности R, центр которой находится в начале координат. Требуется: 1) составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через данные точки А и В; 2) найти полуоси, фокусы и эксцентриситет этого эллипса; 3) найти все точки пересечения эллипса с данной окружностью; 4) построить эллипс и окружность.

31. A(4;-2),  B(2;), R=.

32. A(-8;4),  B(;-2),R=.

33. A(;-2), B(-3;),  R=3.

34. A(-6;__),B(__;6), R=8.

35. A(__;-4),  B(6;__),  R=__.

В задачах 36—40 даны координаты точек А (х₁;у₁) и В (х₂;y₂). Требуется: 1) составить каноническое уравнение гиперболы, проходящей через данные точки А и В, если фокусы гиперболы расположены на оси абсцисс; 2) найти полуоси, фокусы, эксцентриситет и уравнения асимптот этой гиперболы; 3) найти все точки пересечения гиперболы с окружностью с центром в начале координат, если эта окружность проходит через фокусы гиперболы; 4) построить гиперболу, ее асимптоты и окружность.

36. A(-3;4),  B(-5;__).

37. A(4;-6),  B(6;__).

38. A(-4;-3), B(8;9).

39. A(8;12), B(-6;__).

40. A(8;6), B(10;-__).

В задачах 41—60 решить систему трех уравнений с тремя неизвестными при помощи определителей (для студентов, обучающихся по сокращенной программе, систему решить любым способом).

В задачах 61-80 дана невырожденная матрица А. Требуется: 1) найти обратную матрицу __; 2) пользуясь правилом умножения матриц, показать, что __, где __ — единичная матрица.

В задачах 81-100 даны координаты вершин пирамиды АВСD. Требуется: 1) записать векторы __, __ и __ в системе орт и найти модули этих векторов; 2) найти угол между векторами __ и __; 3) найти проекцию вектора __ на вектор __; 4) найти площадь грани АВС; найти объем пирамиды АВСD.

81. A(2;-3;1), B(6;1;-1), C(4;8;-9), D(2; -1;2).

82. A(5;-1;-4), B(9;3;-6), C(7;10;-14), D(5; 1;-3).

83. A(1;-4;0), B(5;0;-2), C(3;7;-10), D(1;-2;1).

84. A(-3;-6;2), B(1;-2;0), C(-1;5;-8), D(-3;-4;3).

85. A(-1;1;-5), B(3;5;-7), C(1;12;-15), D(-1;3;-4).

86. A(-4;2;-1), B(0;6;-3), C(-2;13;-11), D(-4;4;0).

87. A(0;4;3), B(4;8;1), C(2;15;-7), D(0;6;4).

88. A(-2;0;-2), B(2;4;-4), C(0;11;-12), D(-2;2;-1).

89. A(3;3;-3), B(7;7;-5), C(5;14;-13), D(3;5;-2).

90. A(3;1;1), B(7;5;-1), C(5;12;-9), D(3;3;2).

91. A(0;1;3), B(1;-1;5), C(11;3;13), D(-2;1;7).

92. A(3;1;-2), B(4;-1;0), C(14;3;8), D(11;5;6).

93. A(-8;3;-1), B(-7;1;1),C(3;5;9), D(0;7;7).

94. A(2;-1;-4), B(3;-3;-2), C(13;1;6), D(10;3;4).

95. A(-4;5;-5), B(-3;3;-3), C(7;7;5), D(4;9;3).

96. A(-2;-3;2), B(-1;-5;4), C(9;-1;12), D(6;1;10).

97. A(-3;4;-3), B(-2;2;-1), C(8;6;7), D(5;8;5).

98. A(-5;2;-4), B(-4;0;-2), C(6;4;6), D(3;6;4).

99. A(-7;3;1), B(-6;1;3), C(4;5;11), D(1;7;9).

100. A(-6;-4;-3), B(-5;-6;-1), C(5;-2;7), D(2;0;5).

В задачах 101—110 данную систему уравнений записать в матричной форме и затем решить с помощью обратной матрицы.

В задачах 111—120 данную систему уравнений решить методом Гаусса. Рекомендуется преобразования, связанные с последовательным исключением неизвестных, применять к расширенной матрице данной системы.

В задачах 121–140 вычислить указанные пределы:

В задачах 141—150 даны функции y=f(x) и значения аргумента __и __. Требуется: 1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной при данных значениях аргумента; 2) найти односторонние пределы в точках разрыва; 3) построить график данной функции.

В задачах 151—160 функция у задана различными аналитическими выражениями для различных областей изменения аргумента х. Требуется: 1) найти точки разрыва функции, если они существуют; 2) определить характер разрыва; 3) сделать рисунок.

В задачах 161-180 определить производные __, пользуясь формулами дифференцирования.

В задачах 181—200 исследовать данные функции методами дифференциального исчисления и начертить их графики. Исследование и построение графика рекомендуется проводить по следующей схеме: 1) найти область существования функции; 2) исследовать функцию на непрерывность; найти точки разрыва функции и ее односторонние пределы в точках разрыва; 3) выяснить, не является ли данная функция четной, нечетной; 4) найти точки экстремума функции и определить интервалы возрастания и убывания функции; 5) найти точки перегиба графика функции и определить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции; 6) найти асимптоты графика функции, если они имеются; 7) построить график функции, используя результаты исследования; при необходимости можно дополнительно находить точки графика, давая аргументу х ряд значений и вычисляя соответствующие значения у.

201. Требуется изготовить открытый сверху цилиндрический сосуд максимальной вместимости. Каковы должны быть размеры сосуда (радиус R и высота H), если на его изготовление имеется S=84,82дм² материала
(S ≈ 27π) ?

202. Требуется вырыть яму конической формы (воронку) с образующей а = 3 м. При какой глубине объем воронки будет наибольшим?

203. Найти высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиуса R?

204. В эллипс __ вписать прямоугольник наибольшей площади. Найти стороны этого прямоугольника, если они параллельны осям.

205. Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак максимальной вместимости. Каковы должны быть размеры бака (радиус R и высота H), если на его изготовление имеется S = 18,84 м² материала (S ≈ 6π)?

206. В прямоугольной системе координат через точку М (2; 3) проведена прямая, которая вместе с осями координат образует треугольник, расположенный в первом квадранте. Каковы должны быть отрезки, отсекаемые прямой на осях координат, чтобы площадь треугольника была наименьшей?

207. Резервуар, открытый сверху, имеет форму прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием. Каковы должны быть размеры резервуара, чтобы на егo изготовление пошло наименьшее количество материала, если он должен вмещать 256 л воды?

208. Требуется вырыть яму цилиндрической формы с круглым основанием и вертикальной боковой поверхностью заданного объема V = 25 м² (V≈8π). Каковы должны быть линейные размеры ямы (радиус R и высота H), чтобы на облицовку ее дна и боковой поверхности пошло наименьшее количество материала?

209. Из круглого бревна радиуса R = __ требуется вырезать балку прямоугольного сечения с основанием b и высотой h. Прочность балки пропорциональна bh². При каких значениях b и h прочность балки будет наибольшей?

210. Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак заданного объема V= 50м³ (V≈16π). Каковы должны быть размеры бака (радиус R и высота H), чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала?

211. Турист идет из пункта А, находящегося на шоссейной дороге, в пункт В, расположенный в 8 км от шоссе. Расстояние от А до В по прямой составляет 17 км. В каком месте туристу следует свернуть с шоссе, чтобы в кратчайшее время прийти в пункт В, если его скорость передвижения по шоссе 5 км/ч, а по бездорожью 3 км/ч?

212. Требуется поставить палатку в форме правильной четырехугольной пирамиды заданной боковой поверхности S = __ м². Каковы должны быть размеры палатки (сторона основания а и высота H), чтобы вместимость палатки была наибольшей?

213. Равнобедренный треугольник, периметр которого Р = 12, вращается вокруг основания. Найти основание а, при котором полученное тело вращения имеет наибольший объем?

214. Цистерна имеет форму прямого кругового цилиндра, завершенного с одной стороны полушаром. Вместимость цистерны V=41,89м² (V≈__π). Найти радиус цилиндра R, при котором цистерна будет иметь наименьшую полную поверхность.

215. Сечение оросительного канала имеет форму равнобочной трапеции, боковые стороны которой равны меньшему основанию. При каком угле наклона боковых сторон сечение канала будет иметь наибольшую площадь?

216. Требуется изготовить полотняный шатер, имеющий форму прямого кругового конуса заданной вместимости V=14,14м³ (V≈9/2π). Каковы должны быть размеры конуса (высота H и радиус основания R), чтобы на шатер ушло наименьшее количество полотна?

217. Сечение тоннеля имеет форму прямоугольника, завершенного сверху полукругом. Периметр сечения P=35,7м (P≈20+5π). При каком радиусе полукруга площадь сечения будет наибольшей?

218. Из прямоугольного листа жести размером 24x9 см требуется изготовить открытую сверху коробку, вырезая по углам листа равные квадраты и загибая оставшиеся боковые полосы под прямым углом. Каковы должны быть стороны вырезаемых квадратов, чтобы вместимость коробки была наибольшей?

219. Равнобедренный треугольник, вписанный в окружность радиуса R= 3, вращается вокруг основания. Найти высоту треугольника h, при котором полученное тело вращения имеет наибольший объем.

220. Найти высоту конуса наибольшего объема, который можно вписать в шар радиуса R.

В задачах 221–240 найти интегралы:

В задачах 241–260 вычислить определенные интегралы:

261. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами __ и __

262. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом __ __

263. Вычислить площадь фигуры, ограниченной астроидой __ __

264. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболой __ прямой __ и осью Оx.

265. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной гиперболой y=6/x,осью Оу и прямыми у = 1 и у = 6.

266. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох эллипса x=acost, y=bsint.

267. Найти длину дуги кривой __ от __ до __

268. Найти длину дуги кривой __ от __ до __

269. Найти длину одной арки циклоиды x=a(t-sint), y=a(1-cost).

270. Найти длину кардиоиды ρ=2a(1-cosφ).

271. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох параболы __от __ до __

272. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох астроиды __ __

273. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох одной арки циклоиды х = 3(t — sint), у = 3(1 — cos t).

274. Найти площадь фигуры, ограниченной окружностями ρ =асоsφ и ρ =2а соsφ (а > 0).

275. Найти площадь фигуры, ограниченной кардиоидой ρ = 2(1- cosφ) и окружностью ρ = 2.

276. Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной дугой синусоиды у= sinx и отрезком оси Ох от __ до __

277. Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной кривой _-осью Ох и прямой х = 4.

278. Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной кривой __ и осями координат.

279. Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной параболой__ и прямой __

280. Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной эллипсом __ и окружностью __ и расположенной в первом квадранте.

В задачах 281– 300 вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость. 

В задачах 301– 310 дана функция __. Найти: 1) полный дифференциал dz;

2) частные производные второго порядка __и __;

3) смешанные частные производные __ и __.

311. Дана функция __. Показать, что __ 

...............

320. Дана функция __. Показать, что __.

В задачах 321—330 найти наименьшее и наибольшее значения функции z=f(x, у) в заданной замкнутой области.

В задачах 331–340 данную функцию z = f(x, у) исследовать на экстремум.

В задачах 341–360 требуется: 1) построить на плоскости хОу область интегрирования заданного интеграла; 2) изменить порядок интегрирования и вычислить площадь области при заданном и измененном порядках интегрирования.

В задачах 361–380 вычислить объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Данное тело и область интегрирования изобразить на чертеже.

В задачах 381-390 исследовать сходимость рядов, пользуясь признаком сходимости Даламбера.

В задачах 391-400 исследовать сходимость рядов, пользуясь интегральным признаком сходимости Коши.

В задачах 401-420 дан степенной ряд __. Написать первые четыре члена ряда, найти интервал сходимости ряда и выяснить вопрос о сходимости ряда на концах интервала. Значения a, b и k даны.

401. a = 2, b = 3, k = 4.

402. a = 6, b = 5, k = 3.

403. a = 3, b = 4, k = 5.

404. a = 5, b = 2, k = 4.

405. a = 4, b = 3, k = 3.

406. a = 2, b = 3, k = 5.

407. a = 5, b = 6, k = 2.

408. a = 3, b = 5, k = 6.

409. a = 3, b = 7, k = 3.

410. a = 2, b = 7, k = 3.

411. a = 5, b = 3, k = 4.

412. a = 4, b = 2, k = 2.

413. a = 7, b = 4, k = 5.

414. a = 2, b = 6, k = 3.

415. a = 4, b = 2, k = 4.

416. a = 6, b = 3, k = 5.

417. a = 5, b = 8, k = 6.

418. a = 4, b = 3, k = 2.

419. a = 2, b = 4, k = 7.

420. a = 3, b = 5, k = 3.

В задачах 421-440 требуется вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда.

В задачах 441-460 при указанных начальных условиях найти три первых (отличных от нуля) члена разложения в степенной ряд Маклорена функции у(х), являющейся частным решением дифференциального уравнения:

В задачах 461–470 найти общее решение (общий интеграл) дифференциальных уравнений первого порядка.

В задачах 471–480 найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

В задачах 481–500 даны дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

В задачах 501 – 520 даны линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

В задачах 521-530 требуется решить систему уравнений и выделить частные решения, удовлетворяющие указанным начальным условиям.

531. Найти уравнение кривой, проходящей через точку А(2;3) и обладающей тем свойством, что отрезок любой касательной к кривой, заключенный между осями координат, делится в точке касания пополам. Построить кривую.

532. Найти уравнение кривой, проходящей через точку А(2;4), если угловой коэффициент касательной в любой точке кривой в три раза больше углового коэффициента прямой, соединяющей ту же точку с началом координат. Построить кривую.

533. Найти уравнение кривой, проходящей через точку А (1;1) и обладающей тем свойством, что отрезок касательной на оси ординат, равен квадрату абсциссы точки касания. Построить кривую.

534. Найти уравнение кривой, проходящей через точку А (1;2) и обладающей тем свойством, что отрезок касательной между точкой касания и осью Ox делится пополам в точке пересечения с осью Oy. Построить кривую.

535. Найти уравнение кривой, проходящей через точку А(-1;1), если угловой коэффициент касательной в любой точке кривой равен квадрату ординаты точки касания. Построить кривую.

536. Найти уравнение кривой, проходящей через точку А(1;2), если поднормаль в каждой точке равна 2. Построить кривую.

537. Найти уравнение кривой, проходящей через точку А(2;4), если угловой коэффициент касательной в любой точке кривой в два раза меньше углового коэффициента прямой, соединяющей ту же точку с началом координат. Построить кривую.

538. Найти уравнение кривой, проходящей через точку А(2;-4), если начальная ордината касательной, проведенной в любой точке кривой, равна кубу абсциссы точки касания. Построить кривую.

539. Найти уравнение кривой, проходящей через точку А(0;3), если угловой коэффициент касательной в любой её точке, меньше ординаты точки касания на 2. Построить кривую.

540. Найти уравнение кривой, проходящей через точку А(2;2), если длина отрезка касательной между точкой касания и осью Ox равна длине отрезка между точкой касания и началом координат. Построить кривую.

В задачах 541-545 использовать формулу Бернулли для определения вероятностей появления события при повторении испытаний.

541. Всхожесть семян некоторого сорта пшеницы составляет 85%. Найти вероятность того, что из пяти посеянных семян взойдут: а) три; б) не менее трех.

542. В хлопке число длинных волокон составляет 80%. Какова вероятность того, что среди взятых наудачу 6 волокон длинных окажется: а) четыре; б) не более двух.

543. Принимая вероятность рождения мальчика равной 0,51, найти вероятность того, что среди 5 новорожденных: а) 4 мальчика; б) не более двух девочек.

544. В некотором водоеме караси составляют 80%.Найти вероятность того, что из 5 выловленных в этом водоеме рыб окажется: а) 3 карася; б) не менее 4 карасей.

545. Прибор состоит из 3 узлов. Вероятность безотказной работы в течение смены для каждого узла равна 0,8. Узлы выходят из строя независимо один от другого. Найти вероятность того, что за смену откажут: а) два узла; б) не менее двух узлов; в) все узлы.

В задачах 546—550 использовать асимптотическую формулу Пуассона для определения вероятностей появления события при повторении испытаний.

546. Семена содержат 0,15% сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 2000 семян обнаружить 6 семян сорняков?

547. Вероятность появления бракованной детали равна 0,006. Найти вероятность того, что из 500 случайно отобранных деталей окажется 5 бракованных.

548. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течение часа равна 0,002. Найти вероятность того, что за час откажут 4 элемента.

549. Книга издана тиражом в 100000 экземпляров. Вероятность того, что в книге имеется дефект брошюровки равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит 5 неправильно сброшюрованных книг.

550. Вероятность выживания бактерий после радиоактивного облучения равна 0,004. Найти вероятность того, что после облучения из 500 бактерий останется не менее 2 бактерий.

В задачах 551-560 дано, что на шинном заводе рабочий за смену изготовляет п деталей. Вероятность того, что деталь окажется первого сорта равна р. Какова вероятность, что деталей первого сорта будет т штук.

551. п = 500, р=0,8, m = 380.

552. п = 400, р = 0,9, т = 362.

553.  п = 400, р = 0,75, т = 320.

554. п = 600, р = 0,6, m = 355.

555. п = 635, р = 0,65, m = 400.

556. n =195, p=0,75, m =160.

557. n = 245, р = 0,8, m =185.

558. п = 100, р = 0, m = 94

559. п= 250, р = 0,6, m =155.

560. n = 725, р = 0,8, m = 560.

В задачах 561–580 дана вероятность р появления события A в каждом из n независимых испытаний. Пользуясь интегральной теоремой Лапласа, найти вероятность того, что в этих испытаниях событие А появится не менее m₁ раз и не более m₂ раза.

561. n= 150, р = 0,6, m₁ = 78, m₂ = 96.

562. n= 100, р=0,8, m₁ = 72, m₂ = 84.

563. n = 400, p = 0,9, m₁ = 345, m₂=372.

564. n = 600, p = 0,4, m₁ = 210, m₂ = 252.

565. n = 300, p = 0,75, m₁ = 210, m₂ = 225.

566. n = 625, p = 0,36, m₁ = 225, m₂ = 255.

567. n = 400, p = 0,5, m₁= 190, m₂ = 215.

568. n = 225, p = 0,2, m₁ = 45, m₂ = 60.

569. n = 300, p = 0,25, m₁ = 75, m₂ = 90.

570. n = 625, p = 0,64, m₁ = 400, m₂ = 430.

571. n = 140, p = 0,6, m₁ = 88, m₂ = 96.

572. n = 120, p = 0,8, m₁ = 82, m₂ = 94.

573. n = 410, p = 0,9, m₁ = 360, m₂ = 390.

574. n = 600, p = 0,4, m₁ = 220, m₂ =242.

575. n = 310, p = 0,75, m₁ = 210, m₂ = 235.

576. n = 625, p = 0,36, m₁ = 240, m₂ = 280.

577. n = 400, p = 0,5, m₁ = 220, m₂ = 250.

578. n = 225, p = 0,2, m₁ = 50, m₂ = 80.

579. n = 300, p = 0,25, m₁ = 85, m₂ = 90.

580. n = 625, p = 0,64, m₁ = 410, m₂ = 430.

В задачах 581–600 задан закон распределения случайной величины X (в первой строке таблицы даны возможные значения величины X, а во второй строке указаны вероятности р этих возможных значений).

Найти: 1) математическое ожидание М(Х); 2) дисперсию D(Х); 3) среднее квадратическое отклонение σ.

В задачах 601–620 дано, что втулки, выпускаемые цехом, по размеру внешнего диаметра распределены по нормальному закону. Стандартная длина внешнего диаметра втулки (математическое ожидание) равна __ мм, среднее квадратическое отклонение – __ мм. Найти: 1) вероятность того, что внешний диаметр наудачу взятой втулки будет больше __ мм и меньше __ мм; 2) вероятность того, что внешний диаметр втулки отклонится от стандартной длины не более чем на __ мм. Значения __, __, __, __, __ даны.