1. Каток веса Q и радиуса R подъезжает с пренебрежимо малой скоростью к бордюру высотой h. Определить величину силы Р, которую нужно приложить к центру катка под углом α, чтобы каток заехал на бордюр.

2. Определить положение центра тяжести плоской фигуры с круговым вырезом, отсчитывая расстояние от левого нижнего угла. Вычисления проводить с точностью до двух знаков после десятичной запятой.

3. Водитель давит на педаль гидравлического тормоза с силой Р перпендикулярно рычагу АС точке С, преодолевая действие вертикально ориентированной пружины с усилием натяжения F. С помощью горизонтального штока BD это давление передается через поршень в гидравлический цилиндр диаметра d. Найти давление р в цилиндре (в Па) при заданных значениях F, P, AC, BC, d, α.

4. Найти начальное S0 и конечное St положения точки на заданной траектории и пройденный ею путь δ, если закон движения точки определяется уравнением ...

5. Поезд с начальной скоростью v0 км/час проходит за пер- вые полминуты расстояние в S м, разгоняясь равномерно, причем его движение идет по круговому участку пути с радиусом R м. Найти скорость и полное ускорение поезда в момент t2, если за- кон движения не меняется.

6. Маховик начинает вращаться из состояния покоя равноускоренно. В момент времени t1 точка, лежащая на расстоянии R1 от оси вращения, имеет линейную скорость v1.

Найти линейную скорость v2, касательное, нормальное и полное ускорение точки, лежащей на расстоянии R2 от оси, в момент t2, если закон движения маховика не меняется.

Варианты заданий контрольной работы №1

Вариант 1

1. Скорость вращения турбины от момента пуска нарастает по кубическому закону, и при t  = 4 с она составляет величину  64p с–1. Найти закон вращения.

2. Стержень АВ = b движется в плоскости рисунка. Скорости точек А и В образуют с осью стержня углы a и b, при этом величина скорости точки А равна vA.

Найти модуль скорости точки В и угловую скорость стержня, если a = 450, b = 600, vА = 3 м/с, b = 1 м.

3. В поднимающемся с ускорением лифте взвешивание груза на пружинных весах дает 52 Н, а при опускании лифта с тем  же ускорением — 48 Н. Определить истинный вес груза и ускорение лифта.

4. Материальная точка массой m движется горизонтально вдоль прямой влево со скоростью v0. После приложения в момент t = 0 горизонтальной силы, действующей вдоль прямой вправо, к моменту времени t1 скорость точки направлена вправо и равна v2. Найти величину силы и совершенную ей работу, если m = 3 кг,   v0 = 5 м/с,  t1 = 30 с,  v2 = 108 км/ч.

5. Точка массой m1 совершает на пружине гармонические колебания с периодом T1. К этой точке присоединяется вторая точка с массой m2, так что обе точки движутся совместно. Найти период совместных колебаний точек.

6. Бетонный параллелепипед с размерами a·b·c опирается на горизонтальную поверхность гранью a·b, масса его m. Блок опрокидывается вращением через ребро размера а. Какая минимальная работа при этом должна быть совершена? Найти решение при a = 1 м,  b = 2 м,  c = 3 м, m = 15 000 кг.

Вариант 2

1. Кривошип ОА длиной r вращается равномерно вокруг точки О с угловой скоростью w0. Приняв точку А за полюс, написать  уравнения движения  шатуна  длиной b,  если при t  =  0 угол a = 0.

Пояснение: написать уравнение плоского движения тела означает записать уравнения движения полюса и закон изменения угла, описывающего положение тела относительно полюса.

2. Расстояние b (км) вдоль ветра самолет пролетает за время t1 (час), а то же расстояние против ветра — за время t2. Определить собственную скорость самолета V и скорость ветра v.

3. Тело после толчка вдоль горизонтальной поверхности скользит по ней и через b м останавливается по прошествии t1 с. Найти коэффициент трения, если b = 49 м, t1 = 5 c.

4. Снаряд массой m вылетает из ствола длиной b со скоростью v. Считая его движение равноускоренным, найти давление газов, если диаметр канала ствола d. Найти решение при m = 12 кг,  b = 3 м, v = 600 м/с,  d = 122 мм.

5. По наклонной плоскости под углом a к горизонту спускается тяжелое тело с начальной скоростью v0. Коэффициент трения k. Какую скорость будет иметь тело, пройдя расстояние S по плоскости, если a = p/6, v0 = 0,  k = 0.2, S = 5 м?

6. Определить минимальную работу, которую нужно совершить, поднимая тело массой m на расстояние S вдоль наклонной плоскости, составляющей угол a с горизонтом, если коэффициент трения равен k. Найти решение при a = 300, S = 8 м, m = 25 кг, k = 0,2.

Вариант 3

1. Маховик радиусом R вращается из состояния покоя равноускоренно так, что через время t1 точка, лежащая на ободе, имеет линейную скорость v. Найти скорость, нормальное, касательное и полное ускорение точки, расположенной на расстоянии R/2 от оси вращения, в момент времени t2.

Найти числовые значения при R = 1 м,   t1 = 10 с,   t2 = 15 c, v =30 м/с.

2. На тележке установлен электродвигатель, ротор которого при пуске начинает вращаться против часовой стрелки по  закону j = сt2 + bt. Угол измеряется в рад. Радиус ротора R. Тележка движется вправо с ускорением а (м/с2). Найти полное ускорение точки А в момент времени t = t1 с, если положение радиуса ОА отсчитывается от нижнего вертикального радиуса против часовой стрелки.  Исходные данные для расчета:  R  =  0,3  м, с  =  p/4,  b =–p/12, а = 0,2 м/с2, t1 = 1 c.

3. Трамвай идет по горизонтальному пути со скоростью v. При торможении сила трения составляет N % от веса вагона. Найти время до остановки T и полный тормозной путь S, если v =36 км/ч, N = 30.

4. Одинаковые по размерам шары сделаны из материалов плотности r1 и r2. При падении шара сила сопротивления воздуха пропорциональна квадрату скорости. Найти отношение максимальных скоростей падения шаров при r1 = 2 г/см3, r2 = 1500 кг/м3.

5. На пружинных весах проводится взвешивание груза в вагоне. Когда вагон идет по прямолинейному участку, весы показывают 50 Н, при движении вагона со скоростью 72 км/ч по закруглению — 51 Н. Найти радиус закругления пути.

6. Сопротивление стены при забивании в нее гвоздя равно R. При каждом ударе молотка гвоздь забивается на b мм. Какова масса молотка, если при ударе его скорость v? Найти численное значение при R = 800 Н,  b = 15 мм, v = 3 м/с.

Вариант 4

1. Центр диска С движется в вертикальной плоскости в соответствии с уравнениями xC = 12t, yC = 50 – 4.9t2.

Диск вращается вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной плоскости диска, с постоянной скоростью w0 = p с–1, угол отсчитывается от вертикального нижнего радиуса диска против часовой стрелки.

Найти скорость и полное ускорение точки А диска, которая в момент времени t = 0 была в нижней точке диска, в момент времени t = 1 c. Радиус диска R = 0,2 м.

2. Корабль движется прямолинейно со скоростью v1, над ним на высоте h  тем  же  курсом  летит  самолет  со  скоростью v2 > v1. На каком расстоянии b надо сбросить вымпел с самолета, чтобы он попал на корабль?

3. Пружина в свободном состоянии имеет длину b (см), а для изменения ее длины на 1 см нужно приложить силу F (Н). С какой скоростью вылетит шарик массой m (г) в горизонтальном на- правлении, если пружина была сжата до размера d (см)? Найти решение для случая b = 20 см, F = 2.84 Н,   m = 20 г, d = 10 см.

4. В каскаде водопадов перепады высот составляют h1, h2 и h3, средний расход воды в реке равен N м3/с. Найти суммарную мощность всех водопадов, если   h1 = 12 м,  h2 = 7 м  и  h3 = 3 м,    N = 35 м3/с.

5. Определить вертикальную скорость, которую нужно сообщить телу, чтобы оно поднялось на высоту, равную 2 радиусам Земли. Радиус принять равным R = 6,37*106 м, ускорение силы тяжести g = 9,8 м/с2. Сила притяжения Земли меняется по закону P = m*g*(R/r)2, где r — текущее значение расстояния от тела до центра Земли.

6. Автомобиль движется по выпуклому мосту с радиусом кривизны моста R. При какой скорости автомобиля давление его на мост в середине моста будет составлять половину веса автомобиля, если R = 60 м?

Вариант 5

1. Центр диска С движется в вертикальной плоскости в соответствии с уравнениями xC = 12t, yC = 40 – 4.9t2.

Диск вращается вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной плоскости диска, с постоянной скоростью w0 = p с–1, угол отсчитывается от вертикального нижнего радиуса диска против часовой стрелки.

Найти полное ускорение точки А диска, которая в момент времени t = 0 была в нижней точке диска, в моменты времени t = 0 и t = 0,5 c. Радиус диска R = 0,3 м.

2. Корабль движется прямолинейно со скоростью v1, над ним на высоте h встречным курсом летит самолет со скоростью v2. На каком расстоянии b (по горизонтали) надо сбросить вым- пел с самолета, чтобы он попал на корабль?

3. Нить выдерживает нагрузку F (Н). С каким минимальным ускорением нужно дернуть за нитку груз массой m (г), лежащий на шероховатой горизонтальной поверхности, в горизонтальном направлении, чтобы нить оборвалась, если коэффициент трения между грузом и поверхностью составляет величину k? Найти от- вет при F = 50 Н,  m = 3 кг,  k = 0,1.

4. По наклонной плоскости под углом a к горизонту спускается тело без начальной скорости, коэффициент трения равен k. Определить, за какое время будет пройден путь длиной S вдоль наклонной плоскости, если a = 300,  k = 0,2,  S = 30 м.

5. На вершине купола сферической формы лежит тело. С какой начальной скоростью нужно толкнуть тело в горизонтальном направлении, чтобы оно оторвалось от купола, пройдя по его поверхности путь длиной в 1/8 окружности сферы, если радиус купола R = 2 м?

6. Математический маятник вывели из состояния равновесия, толкнув его горизонтально со скоростью v. Найти длину дуги, которую опишет маятник до остановки, если длина маятника b. Найти решение при b = 0,5 м,  v = 1 м/с.

Вариант 6

1. Стержень АВ = b движется в плоскости рисунка. Скорости точек А и В образуют с осью стержня углы a и b, при этом величина скорости точки В равна vВ.

Найти модуль скорости точки А и угловую скорость стержня, если a = 300,  b = 450,  vВ = 4 м/с,  b = 1,2 м.

2. Расстояние b по течению реки теплоход проходит за время t1, а то же расстояние против течения — за время t2. Определить собственную скорость теплохода V и скорость течения v.

3. Нить выдерживает нагрузку F (Н). С каким минимальным ускорением нужно дернуть за нитку груз массой m (кг) вверх, чтобы нить оборвалась? Найти ответ при F = 50 Н, m = 3 кг.

4. Автомобиль начинает торможение при скорости v и останавливается через t с. Найти коэффициент трения колес о дорогу  и длину тормозного пути, если v = 54 км/ч,  t = 4 с.

5. Парашютист совершает затяжной прыжок, не раскрывая парашют. Какова максимальная скорость его падения, если сила сопротивления воздуха пропорциональна квадрату скорости падения, и при скорости 1 м/с она составляет 0.6 Н, а масса парашютиста 90 кг?

6. За S м до станции, стоящей на пригорке высотой h, начинается торможение состава, идущего со скоростью v. Масса состава m, сопротивление движению состава за счет трения равно k от его веса. Найти значение силы торможения, при которой состав остановится  точно  у станции,  при S = 600 м,  h = 3 м,   v = 54 км/ч,   m = 1000 т, k = 0.005.

Вариант 7

1. Кривошип ОА длиной r вращается равномерно вокруг точки О с угловой скоростью w0. Приняв точку А за полюс, написать  уравнения движения  шатуна  длиной b,  если при t  =  0 угол a = 450.

Пояснение: написать уравнения плоского движения тела означает записать уравнения движения полюса и закон вращения тела вокруг полюса.

2. Скорость вращения турбины от момента пуска нарастает по кубическому закону, и при t = 3 с она составляет величину 27p с–1. Найти закон вращения.

3. Лыжник массой m кг спускается по склону под углом a, трение о снег определяется коэффициентом k, сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости лыжника и при скорости 1 м/с равно С (Н). Найти максимальную скорость, которую может развить лыжник, если m = 70 кг, a = 300, k = 0,1,  C = 1 Н.

4. Груз массы m подвешен на нити длиной b см и при вращении в горизонтальной плоскости описывает коническую поверхность, так что угол отклонения нити от вертикали составляет a. Найти скорость груза и натяжение нити, если m = 0,4 кг, b = 50 см, a = p/6.

5. Тяжелая точка поднимается по наклонной плоскости под углом a к горизонту. Начальная скорость точки v0, коэффициент трения о плоскость k. Какой путь будет пройден точкой до оста- новки и за какое время, если a = p/6, v0 = 10 м/с, k = 0.1?

6. Материальная точка, находящаяся на вершине гладкой полусферы радиуса R, получает начальную горизонтальную скорость v0. В каком месте точка покинет купол? Каково должно быть значение v, чтобы точка сразу оторвалась от купола?

Вариант 8

1. Корабль движется, преодолевая сопротивление воды, пропорциональное квадрату скорости и равное 1200 Н, при скорости 1 м/с. Толкающая сила от винтов меняется по закону T =T0(1–v/vs) кН, где Т0 = 1200 кН — толкающая сила при нулевой скорости, vs = 33 м/с — постоянная величина.

Найти максимальную скорость движения корабля.

2. Автомобиль на прямолинейном участке движется с ускорением а м/с2. Вдоль оси автомобиля расположен вал, на котором вращается маховик радиуса R с угловой скоростью w и угловым ускорением e в данный момент времени.

Найти абсолютное ускорение точки на ободе маховика в данный момент времени. Данные для расчета:

а = 2 м/с2,  w = 4 с–1,   e = 3 с–2., R = 0,25 м.

3. Материальная точка массой m движется горизонтально вдоль прямой влево со скоростью v0. После приложения в момент t = 0 горизонтальной силы, действующей вдоль прямой вправо, к моменту времени t1 скорость точки направлено вправо и равна v2. Найти величину силы и совершенную ей работу, если m = 3 кг,   v0 = 5 м/с,  t1 = 30 с,  v2 = 108 км/ч.

4. Материальная точка массы m совершает прямолинейное движение под действием силы, меняющейся по закону

F = F0 cos wt,

где F0 и w — постоянные. В начальный момент времени точка находилась в начале координат х = 0 и имела скорость v0. Написать уравнение движения точки и определить положение, скорость и ускорение точки в момент времени Т = 0,5 с, если F0 = 20 Н, m = =2 кг, v0 = 2 м/с, w = p с–1.

5.  Вагон движется по прямолинейному участку пути со скоростью 72 км/ч и начинает торможение, так что сила торможения равна 0,1 веса вагона. Найти время торможения и тормозной  путь.

6.  За S м до станции, стоящей в низине глубиной h, начинается торможение состава, идущего со скоростью v. Масса состава m, коэффициент трения k. Найти значение постоянной силы торможения, при которой состав остановится точно у станции,  при  S = 800 м,  h = 2 м,  v = 36 км/ч,  m = 1200 т,  k = 0,002.

Вариант 9

1. Вал начинает вращаться равноускоренно и за первые 3 секунды совершает 27 полных оборотов. Сколько оборотов совершит вал за 9 секунд, если закон движения не меняется?

2. На тележке установлен электродвигатель, ротор которого при пуске начинает вращаться против часовой стрелки по  закону j = сt2 + bt. Угол измеряется в рад. Радиус ротора R. Тележка движется влево с ускорением а (м/с2). Найти полное ускорение точки А в момент времени t = t1 с, если положение радиуса ОА отсчитывается от нижнего вертикального радиуса против часовой стрелки. Исходные данные для расчета:

R = 0,2 м,  с = p/6,  b = p/12,  а = 2 м/с2,  t1 = 1 c.

3. Тело после толчка вдоль горизонтальной поверхности скользит по ней и через b м останавливается по прошествии t1 с. Найти коэффициент трения, если b = 24,5 м, t1 = 2,5 c.

4. Лыжник массой m кг спускается по склону под углом a, трение о снег определяется коэффициентом k, сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости лыжника и при скорости 1 м/с равно С (Н). Найти максимальную скорость, которую может развить лыжник, если m = 80 кг, a = 450, k = 0,06, C = 0,9 Н.

5. Груз массы m подвешен на нити длиной b см и при вращении в горизонтальной плоскости описывает коническую поверхность, так что угол отклонения нити от вертикали составляет a. Найти скорость груза и натяжение нити, если m = 0,6 кг, b = 40 см, a = p/4.

6. Материальная точка, находящаяся на вершине гладкой полусферы радиуса R, получает начальную горизонтальную скорость v0. Каково должно быть значение v0 , чтобы точка: 1) сразу оторвалась от купола; 2) оторвалась от купола, пройдя по нему 1/12 окружности?

Вариант 10

1. Маховик радиусом R вращается из состояния покоя равноускоренно так, что через время t1 точка, лежащая на ободе, имеет линейную скорость v. Найти скорость, нормальное, касательное и полное ускорение точки, лежащей на расстоянии 2/3 R от оси вращения, в момент времени t2.

Найти числовые значения при R = 1 м,   t1 = 5 с,   t2 = 10 c, v = 8 м/с.

2. Автомобиль на прямолинейном участке тормозит с ускорением а м/с2. Вдоль оси автомобиля расположен вал, на котором вращается маховик радиуса R с угловой скоростью w и угловым ускорением e в данный момент времени.

Найти абсолютное ускорение точки на ободе маховика в данный момент времени. Данные для расчета:

а = 1 м/с2,  w = 3 с–1,   e = 4 с–2,  R = 0.20 м.

3. По наклонной плоскости под углом a к горизонту спускается тяжелое тело с начальной скоростью v0. Коэффициент трения k. Какую скорость будет иметь тело, пройдя расстояние S по плоскости, если a = p/4, v0 = 2 м/с,  k = 0,4, S = 4 м?

4. Автомобиль движется по выпуклому мосту с радиусом кривизны моста R. При какой скорости автомобиля давление его на мост в середине моста будет составлять треть веса автомобиля, если R = 60 м?

5. Вагон движется по прямолинейному участку пути со скоростью 72 км/ч и начинает торможение, так что сила торможения равна 0.15 веса вагона. Найти время торможения и тормозной путь.

6. Бетонный блок в виде параллелепипеда с размерами a·b·c опирается на горизонтальную поверхность гранью a·b. Масса блока m. Блок опрокидывается вращением через ребро размером b. Какая минимальная работа при этом должна быть совершена? Найти решение при a = 1 м,  b = 0.5 м,  c = 2 м, m = 5 000 кг.

Вариант 11

1. Скорость вращения турбины от момента пуска нарастает по кубическому закону, и при t = 2 секунды она составляет величину 8p с–1. Найти закон вращения.

2. Стержень АВ = b движется в плоскости рисунка. Скорости точек А и В образуют с осью стержня углы a и b, при этом величина скорости точки А равна vA.

Найти модуль скорости точки В и угловую скорость стержня, если   a = 600,   b = 300,   vА = 5 м/с,    b = 2 м.

3. В поднимающемся с ускорением лифте взвешивание груза на пружинных весах дает 53 Н, а при опускании лифта с тем  же ускорением — 47 Н. Определить истинный вес груза и ускорение лифта.

4. Материальная точка массой m движется горизонтально вдоль прямой влево со скоростью v0. После приложения в момент t = 0 горизонтальной силы, действующей вдоль прямой вправо, к моменту времени t1 скорость точки направлена вправо и равна v1. Найти величину силы и совершенную ей работу, если m = 2 кг,   v0 = 4 м/с,  t1 = 30 с,  v1 = 72 км/ч.

5. Точка массой m1 совершает на пружине гармонические колебания с периодом T1. К этой точке присоединяется вторая точка с массой m2, так что обе точки движутся совместно. Найти период совместных колебаний точек.

6. Бетонный блок в форме правильной четырехугольной пирамиды с размером основания a·а и высотой h опирается на горизонтальную поверхность основанием. Масса блока m. Блок опрокидывается вращением через ребро. Какая минимальная работа при этом должна быть совершена? Найти решение при a = 2 м, h = 4 м, m = 18 000 кг.

Вариант 12

1. Кривошип ОА длиной r вращается равномерно вокруг точки О с угловой скоростью w0. Приняв точку А за полюс, написать  уравнения движения  шатуна  длиной b,  если при t  =  0 угол a = p/2.

Пояснение. Уравнения плоского движения тела представляют собой уравнения движения полюса и закон вращения тела вокруг полюса.

2. Самолет летит горизонтально. Сопротивление воздуха пропорционально квадрату  скорости  самолета  и  при  скорости 1 м/с равно 0.5 Н. Сила тяги от винта постоянна, равна 31 кН и составляет угол 150 с направлением полета.

Определить максимальную скорость самолета.

3. Тело после толчка вдоль горизонтальной поверхности скользит по ней и через b м останавливается по прошествии t1. Найти коэффициент трения, если b = 70 м, t1 = 5 c.

4. Снаряд массой m вылетает из ствола длиной b со скоростью v. Считая его движение равноускоренным, найти давление газов, если диаметр канала ствола d. Найти решение при m = 20 кг, b = 2,5 м, v = 700 м/с,  d = 152 мм.

5. По наклонной плоскости под углом a к горизонту спускается тяжелое тело с начальной скоростью v0. Коэффициент трения k. Какую скорость будет иметь тело, пройдя расстояние S по плоскости, если a = p/4, v0 = 3 м/с,  k = 0,4,   S = 6 м?

6. Определить минимальную работу, которую нужно совершить, поднимая тело массой m на расстояние S вдоль  наклонной плоскости, составляющей угол a с горизонтом, если коэффициент трения равен k. Найти решение при a = 450, S = 18 м, m = 200 кг,   k = 0,4.

Вариант 13

1. Маховик радиусом R вращается из состояния покоя равноускоренно так, что через время t1 точка, лежащая на ободе, имеет линейную скорость v. Найти скорость, нормальное, касательное и полное ускорение этой же точки в момент времени t2.

Найти числовые значения при R = 1 м,   t1 = 8 с,   t2 = 12 c, v = 5 м/с.

2. На тележке установлен электродвигатель, ротор которого при пуске начинает вращаться против часовой стрелки по  закону j = сt2 + bt. Угол измеряется в рад. Радиус ротора R. Тележка движется вправо с ускорением а (м/с2). Найти полное ускорение точки А в момент времени t = t1 с, если положение радиуса ОА отсчитывается от нижнего вертикального радиуса против часовой стрелки, как показано на схеме. Исходные данные для расчета:

R = 0,3 м,  с = p/4,   b = p/12,  а = 0,3 м/с2,  t1 = 1 c.

3. Трамвай идет по горизонтальному пути со скоростью v. При торможении сила трения составляет N % от веса вагона. Найти время до остановки T и полный тормозной путь S, если v = 54 км/ч, N = 25.

4. Одинаковые по размерам шары сделаны из материалов плотности r1 и  r2. При падении шара сила сопротивления  воздуха пропорциональна квадрату скорости. Максимальная скорость падения первого шара составляет 100 м/с. Найти максимальную скорость падения второго шара, если r1 = 7,8 г/см3, r2 = 2500 кг/м3.

5. На пружинных весах проводится взвешивание груза в вагоне. Когда вагон идет по прямолинейному участку, весы показывают 50 Н, при движении вагона со скоростью 90 км/ч по закруглению — 52 Н. Найти радиус закругления пути.

6. Сопротивление стены при забивании в нее гвоздя равно R. При каждом ударе молотка гвоздь забивается на b мм. Какова масса молотка, если при ударе его скорость v? Найти численное значение при R = 600 Н,  b = 25 мм, v = 3 м/с.

Вариант 14

1. Центр диска С движется в вертикальной плоскости в соответствии с уравнениями xC = 12t, yC = 30 – 4,9t2

Диск вращается вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной плоскости диска, с постоянной скоростью w0 = p с–1, угол отсчитывается от вертикального нижнего радиуса диска против часовой стрелки.

Найти скорость и полное ускорение точки А диска, которая в момент времени t = 0 была в нижней точке диска, в момент времени t = 0,5 c. Радиус диска R = 0,3 м.

2. В колодец бросают камень, и звук от его падения на дно слышен через 5 с. Определить глубину колодца, считая, что сопротивлением воздуха при движении камня можно пренебречь.

3. Пружина в свободном состоянии имеет длину b, а для изменения ее длины на 2 см нужно приложить силу F. С какой скоростью вылетит шарик массой m в горизонтальном направлении, если пружина была сжата до размера d? Найти решение для случая b = 25 см, F = 6,84 Н, m = 20 г,   d = 15 см.

4. В каскаде водопадов перепады высот составляют h1, h2 и h3, средний расход воды в реке равен N м3/с. Найти суммарную мощность всех  водопадов, если h1  =  10 м, h2 = 17 м и h3  = 3  м,  N = 45 м3/с.

5. Определить вертикальную скорость, которую нужно сообщить телу, чтобы оно поднялось на высоту, равную 3 радиусам Земли. Радиус принять равным R = 6.37*106 м, ускорение силы тяжести g = 9.8 м/с2. Сила притяжения Земли меняется по закону P = m*g*(R/r)2, где r — текущее значение расстояния от тела до центра Земли. Определить также величину второй космической скорости, т.е. скорости, при которой тело не вернется обратно на Землю.

6. Автомобиль движется по выпуклому мосту с радиусом кривизны моста R. При какой скорости автомобиля давление его на мост в середине моста будет составлять 75 % веса автомобиля, если R = 90 м?

Вариант 15

1. Центр диска С движется в вертикальной плоскости в соответствии с уравнениями xC = 10t, yC = 40 – 4,9t2.

Диск вращается вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной плоскости диска, с постоянной скоростью w0 = p с–1, угол отсчитывается от вертикального нижнего радиуса диска против часовой стрелки.

Найти полное ускорение точки А диска, которая в момент времени t = 0 была в нижней точке диска, в моменты времени t = 0 и t = 0,5 c. Радиус диска R = 0,3 м.

2. Цилиндр весом 8 кг, радиусом R = 10 см и высотой h = 15 см падает, испытывая сопротивление воздуха по закону F = k·S·v2, где S — площадь проекции падающего тела на плоскость, перпендикулярную вектору скорости.

Найти максимальную скорость падения для случаев: 1) вектор  скорости  совпадает  с  осью  цилиндра,  и  k  =  0,35   Н·с2/м4; 2) вектор скорости перпендикулярен оси цилиндра, и k = 0,28 Н·с2/м4.

3. Нить выдерживает нагрузку F (Н). С каким минимальным ускорением нужно дернуть за нитку груз массой m, лежащий на горизонтальной шероховатой поверхности, так что коэффициент трения скольжения равен k, в горизонтальном направлении, чтобы нить оборвалась? Найти ответ при F = 30 Н,  m = 4 кг,  k = 0,04.

4. По наклонной плоскости под углом a к горизонту спускается тело без начальной скорости, коэффициент трения равен k. Определить, за какое время будет пройден путь длиной S вдоль наклонной плоскости, если a = 450, k = 0,3, S = 20 м.

5. Тяжелое тело спускается по гладкой плоскости, угол которой с горизонтом составляет a. Начальная скорость тела v0. За какое время тело пройдет путь S = 27,6 м, если a = p/3, v0 = 1 м/с?

6. Математический маятник вывели из состояния равновесия, толкнув его горизонтально со скоростью v. Найти длину дуги, которую опишет маятник до остановки, если длина маятника b. Найти решение при b = 1,5 м,  v = 1 м/с.

Вариант 16

1. Тело массой 10 кг движется под действием переменной силы F = 100·(1–t) Н, где время измеряется в секундах. Сила направлена в сторону движения, а начальная скорость движения тела 20 см/с. Какой путь пройдет точка до остановки, и через сколько секунд тело остановится?

2. Шлифовальный камень диаметром 60 см делает 120 об/мин. Мощность двигателя, вращающего камень, равна 1,2 кВт. Коэффициент трения прижимаемой детали о камень равен 0,2. Найти силу, с которой деталь прижимается к камню.

3. Груз Q поднимается с помощью винтового домкрата, длина рукоятки 0,6 м, к концу ее прикладывается сила 160 Н. Найти величину Q, если шаг винта домкрата равен 12 мм.

4. Автомобиль начинает торможение при скорости v и останавливается через t с. Найти коэффициент трения колес о дорогу и длину тормозного пути, если v = 60 км/ч, t = 4 с.

5. Парашютист совершает затяжной прыжок, не раскрывая парашют. Какова максимальная скорость его падения, если сила сопротивления воздуха пропорциональная квадрату скорости падения, и при скорости 1 м/с она составляет 0,6 Н, а масса парашютиста 100 кг?

6. За S м до станции, стоящей на горке высотой h, начинается торможение состава, идущего со скоростью v. Масса состава m, коэффициент трения k. Найти значение дополнительной силы торможения, при которой состав остановится точно у станции, при S = 500 м,  h = 1 м,  v = 36 км/ч,  m = 1300 т,  k = 0.004.

Вариант 17

1. Кривошип ОА длиной r вращается равномерно вокруг точки О с угловой скоростью w0. Приняв точку А за полюс, написать  уравнения движения  шатуна  длиной b,  если при t  =  0 угол a = 450.

Пояснение. Написать уравнение плоского движения тела означает записать уравнения движения точки, принятой за полюс, и вращения тела вокруг полюса.

2. Скорость вращения турбины от момента пуска нарастает по кубическому закону, и при t = 5 с она составляет величину 125p с–1. Найти закон вращения и число оборотов, которое сделает турбина за первые 8 с, если закон вращения не меняется.

3. Лыжник массой m кг спускается по склону под углом a, трение о снег определяется коэффициентом k, сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости лыжника и при скорости 1 м/с равно С (Н). Найти максимальную скорость, которую может развить лыжник, если m = 80 кг, a = 4500, k = 0.15, C = 0,8 Н.

4. Груз массы m подвешен на нити длиной b см и при вращении в горизонтальной плоскости описывает коническую поверхность, так что угол отклонения нити от вертикали составляет a. Найти скорость груза и натяжение нити, если m = 4 кг, b = 60   см, a = p/6.

5.  Тяжелая точка поднимается по наклонной плоскости под углом a к горизонту. Начальная скорость точки — v0, коэффициент трения о плоскость — k. Какой путь будет пройден точкой до остановки и за какое время, если a = p/4,   v0 = 12 м/с,   k = 0,15?

6.  Материальная точка, находящаяся на вершине гладкой полусферы радиуса R, получает начальную горизонтальную скорость v0. В каком месте точка покинет купол? Каково должно быть значение v, чтобы точка оторвалась от купола, пройдя 1/12 полной окружности?

Вариант 18

1. В неподвижной лодке длиной 5 м с ее кормы на нос перемещается человек массой 80 кг. Масса лодки 120 кг. Найти перемещение лодки.

2. Автомобиль на прямолинейном участке движется с ускорением а м/с2. Вдоль оси автомобиля расположен вал, на котором вращается маховик радиуса R с угловой скоростью w и угловым ускорением e в данный момент времени.

Найти абсолютное ускорение точки на ободе маховика в данный момент времени. Данные для расчета:

а = 1,2 м/с2,  w = 2 с–1,   e = 5 с–2,  R = 0,15 м.

3. Материальная точка массой m движется горизонтально вдоль прямой влево со скоростью v0. После приложения в момент t = 0 горизонтальной силы, действующей вдоль прямой вправо, к моменту времени t1 скорость точки направлена вправо и равна v2. Найти величину силы и совершенную ей работу, если m = 2 кг,  v0 = 4 м/с,  t1 = 40 с,  v2 = 72 км/ч.

4. Материальная точка массы m совершает прямолинейное движение под действием силы, меняющейся по закону

F = F0 cos wt,

где F0 и w — постоянные. В начальный момент времени точка находилась в начале координат х = 0 и имела скорость v0. Написать уравнение движения точки и определить положение, скорость и ускорение точки в  момент  времени  Т  =  1  с,  если  F0  =  30  Н,  m = 3 кг, v0 = 3 м/с, w = p.

5. Вагон движется по прямолинейному участку пути со скоростью 54 км/ч и начинает торможение, так что сила торможения равна 0,05 веса вагона. Найти время торможения и тормозной путь.

6. За S м до станции, стоящей на горке высотой h, начинается торможение состава, идущего со скоростью v. Масса состава m, коэффициент трения k. Найти значение дополнительной силы торможения, при которой состав остановится точно у станции, если S = 700 м,  h = 1,5 м,  v = 54 км/ч,  m = 1500 т, k = 0,002.

Вариант 19

1. Вал начинает вращаться равноускоренно и за первые 5 секунд совершает 25 полных оборотов. Сколько оборотов совершит вал за 15 секунд, если закон движения не меняется?

2. На тележке установлен электродвигатель, ротор которого при пуске начинает вращаться против часовой стрелки по  закону j = сt2 + bt. Угол измеряется в рад. Радиус ротора — R. Тележка движется влево с ускорением а (м/с2). Найти полное ускорение точки А в момент времени t = t1 с, если положение радиуса ОА отсчитывается от нижнего вертикального радиуса против часовой стрелки. Исходные данные для расчета:

R = 0,1 м,  с = p/6,  b = –p/12,  а = 1 м/с2,  t1 = 2 c.

3. Тело после толчка вдоль горизонтальной поверхности скользит по ней и через b м останавливается по прошествии t1 с. Найти коэффициент трения, если b = 73,5 м, t1 = 12,5 c.

4. Лыжник массой m кг спускается по склону под углом a, трение о снег определяется коэффициентом k, сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости лыжника и при скорости 1 м/с равно С (Н). Найти максимальную скорость, которую может развить лыжник, если m = 90 кг, a = 300, k = 0,05, C = 0,85 Н.

5. Груз массы m подвешен на нити длиной b см и при вращении в горизонтальной плоскости описывает коническую поверхность, так что угол отклонения нити от вертикали  составляет  a.

Найти скорость груза и натяжение нити, если m = 1 кг, b = 60 см, a = p/3.

6. Материальная точка, находящаяся на вершине гладкой полусферы радиуса R, получает начальную горизонтальную скорость v0. В каком месте точка покинет купол? Каково должно быть значение v, чтобы точка сразу оторвалась от купола, пройдя по его поверхности 1/8 полной окружности большого круга?

Вариант 20

1. Маховик радиусом R вращается из состояния покоя равноускоренно так, что через время t1 точка, лежащая на ободе, имеет линейную скорость v. Найти скорость, нормальное, касательное и полное ускорение точки, лежащей на середине радиуса, в момент времени t2.

Найти числовые значения при R = 0.8 м, t1 = 4 с, t2 = 12 c, v =15 м/с.

2. Автомобиль на прямолинейном участке движется с ускорением а м/с2. Вдоль оси автомобиля расположен вал, на котором вращается маховик радиуса R с угловой скоростью w и угловым ускорением e в данный момент времени.

Найти абсолютное ускорение точки на ободе маховика в данный момент времени. Данные для расчета:

а = 2 м/с2,  w = 2 с–1,  e = 3 с–2,  R = 0,25 м.

3. По наклонной плоскости под углом a к горизонту спускается тяжелое тело с начальной скоростью v0. Коэффициент трения k. Какую скорость будет иметь тело, пройдя расстояние S по плоскости, если a = p/3,  v0 = 4 м/с,   k = 0,5,  S = 14 м?

4. Автомобиль движется по выпуклому мосту с радиусом кривизны моста R. При какой скорости автомобиля давление его на мост в середине моста будет составлять 60 % веса автомобиля, если R = 50 м?

5. Вагон движется по прямолинейному участку пути со скоростью 54 км/ч и начинает торможение, так что сила торможения равна 0,15 веса вагона. Найти время торможения и тормозной путь.

6. Бетонный параллелепипед с размерами a·b·c и массой m лежит на горизонтальной поверхности, опираясь на нее гранью a·b, и затем опрокидывается вращением через ребро размером а. Какая работа при этом должна быть совершена? Найти решение при a = 1 м,  b = 4 м,  c = 6 м, m = 9 000 кг.