Вариант 5

Задача 5

Условно стандартная задача линейного программирования

Необходимо выполнить в указанном порядке следующие задания.

1. Найти оптимальный план прямой задачи:

   а) графическим методом;

   б) симплекс-методом (для построения исходного опорного плана рекомендуется использовать метод искусственного базиса).

2. Построить двойственную задачу.

3. Найти оптимальный план двойственной задачи из графического решения прямой, используя условия дополняющей нежесткости.

4. Найти оптимальный план двойственной задачи по первой теореме двойственности, используя окончательную симплекс-таблицу, полученную при решении прямой задачи (см. п.1б). Проверить утверждение «значения целевых функций пары двойственных задач на своих оптимальных решениях совпадают».

5. Двойственную задачу решить симплекс-методом, затем, используя окончательную симплекс-таблицу двойственной задачи найти оптимальный план прямой задачи по первой теореме двойственности. Сравнить результат с результатом, который был получен графическим методом (см. п.1а).

6. Найти оптимальное целочисленное решение:

   а) графическим методом;

   б) методом Гомори.

Сравнить значения функций целочисленного и нецелочисленного решений.

Задача 15

Каноническая задача

Приведена таблица, в которой записаны условия канонической задачи линейного программирования на минимум.

В первой строке помещены коэффициенты целевой функции. В остальных строках, в первых пяти столбцах, находятся векторы условий, а в последнем столбце записан вектор ограничений. В правом верхнем углу таблицы указана цель задачи.

Необходимо последовательно выполнить следующие задания.

1. Задачу решить графическим методом.

2. Применяя симплекс-метод, решить задачу, т.е. найти ее оптимальный план X^*, минимальное значение целевой функции f(X^*) или установить, что задача не имеет решения. Начальный план рекомендуется искать методом искусственного базиса.

3. Построить двойственную задачу. Если вектор X^* найден, вычислить оптимальный план Y^* двойственной задачи, используя первую теорему двойственности (Y^* = C_БD^-1). Вычислить максимальное значение функции j(Y^*).

4. Провести анализ полученного решения, применяя условия дополняющей нежесткости.

Задача 25

Транспортная задача

Ниже приведены числовые данные транспортной задачи. Стоимость перевозки единицы продукции записаны в клетках таблицы. Запасы указаны справа от таблиц, а потребности – снизу.

Требуется построить начальный план методами: «северо-западного угла», «минимального элемента», «двойного предпочтения»,  методом Фогеля. Из каждого плана найти оптимальный план методом потенциалов.

Задача 35

Сетевая задача

Ниже приведена транспортная задача в сетевой постановке, изображенная в виде неориентированного связного графа. На ребрах проставлены значения тарифов c_r, на вершинах (в кружках) – значения запасов-потребностей b_j. Построить пробный допустимый план, проверить его на оптимальность. В случае необходимости довести до оптимального плана методом потенциалов.

Задача 45

Задача о назначениях

Ниже приведена таблица, в клетках которых проставлены элементы матрицы эффективности c_ij. Решить задачу методом потенциалов и венгерским методом.