Задача №3 (Задания 1-30):

Построить математическую модель задачи линейного программирования и решить задачу.

1. Автотранспортному предприятию (АТП) необходимо освободить из-под груза складские помещения клиента. Вывоз груза следует осуществить в два рейса колоннами автомобилей. Условия перевозки требуют, чтобы в составе каждой колонны, предназначенной для вывоза груза в первый район, было 8 автомобилей ЗИЛ-131 и 8 автомобилей ЗИЛ-130; в колоннах второго рейса 8 автомобилей ЗИЛ-130 и 16 – МАЗ-500. Каждая из колонн может сделать за сутки одинаковое количество поездок. Парк подвижного состава АТП состоит из 32 автомобилей ЗИЛ-131 грузоподъёмностью 3 т, 48 автомобилей ЗИЛ-130 грузоподъёмностью 4 т, 48 автомобилей МАЗ-500 грузоподъёмностью 7,5 т.

Определите количество колонн, которое нужно направить в каждый район, чтобы перевезти наибольшее количество груза.

2. Из пункта А в пункт В ежедневно отправляются пассажирские и скорые поезда. Данные об организации перевозок следующие:

Сколько должно быть сформировано скорых и пассажирских поездов, чтобы перевезти наибольшее количество пассажиров?

3. При откорме каждое животное должно получить не менее 9 ед. белков, 8 ед. углеводов и 11 ед. протеина. Для составления рациона используют два вида корма, представленных в следующей таблице:

Стоимость 1 кг корма первого вида – 4 д.е., второго – 6 д.е.

Составьте дневной рацион питательности, имеющий минимальную стоимость.

4. Хозяйство располагает следующими ресурсами: площадь – 100 ед., труд – 120 ед., тяга – 80 ед. Хозяйство производит четыре вида продукции П₁, П₂, П₃, П₄. Организация производства характеризуется следующей таблицей:

Составьте план выпуска продукции, обеспечивающий хозяйству максимальную прибыль.

5. Цех выпускает трансформаторы двух видов. Для изготовления трансформаторов обоих видов используются железо и проволока. Общий запас железа – 3 т, проволоки – 18 т. На один трансформатор первого вида 5 кг железа и 3 кг проволоки, а на один трансформатор второго вида расходуется 3 кг железа и 2 кг проволоки. За каждый реализованный трансформатор первого вида завод получает прибыль 3 д.е., второго – 4 д.е.

Составьте план выпуска трансформаторов, обеспечивающий заводу максимальную прибыль.

6. Совхоз отвёл три земельных массива размером 5000, 8000, 9000 га на посевы ржи, пшеницы, кукурузы. Средняя урожайность в центнерах на 1 га по массивам указана в следующей таблице:

За 1 ц. ржи совхоз получает 2 д.е., за 1 ц. пшеницы – 2,8 д.е., за 1 ц. кукурузы – 1,4 д.е. Сколько гектаров и на каких массивах совхоз должен отвести на каждую культуру, чтобы получить максимальную выручку, если по плану он обязан сдать не менее 1900 т. ржи, 158000 т. пшеницы и 30000 т. кукурузы?

7. Три типа самолётов следует распределить между четырьмя авиалиниями. Данные об организации процесса перевозок приведены в следующей таблице:

Распределите самолёты по авиалиниям так, чтобы при минимальных суммарных эксплуатационных затратах перевезти по каждой из четырёх авиалиний соответственно не менее 300, 200, 1000, 500 ед. груза.

8. Имеются четыре оперативные базы и три цели. В силу различия в типах самолётов и высоте полёта вес бомб, доставляемых с любой базы к любой цели, определяется по следующей таблице:

Дневная интенсивность каждой базы составляет 150 самолёто-вылетов в день. На каждую цель необходимо организовать 200 самолёто-вылетов в день.

Определите план вылетов с каждой базы к каждой цели, дающий максимальный общий вес бомб, доставляемых к целям.

9. В институте проводится конкурс на самую лучшую стенгазету. Одному студенту дано следующее поручение: купить акварельной краски по цене 30 д.е. за коробку, цветные карандаши по цене 20 д.е. за коробку, линейки по цене 12 д.е., блокноты по цене 10 д.е.; красок нужно купить не менее трёх коробок, блокнотов – столько, сколько коробок карандашей и красок вместе, линеек не более пяти. На покупки выделяется не менее 300 д.е.

В каком количестве студент должен купить указанные предметы, чтобы общее число предметов было наибольшим?

10. Заводы № 1, 2, 3 производят однородную продукцию в количестве соответственно 500, 400 и 510 единиц. Себестоимость производства единицы продукции на заводе № 1 составляет 25 д.е., на заводе № 2 – 20 д.е., на заводе № 3 – 23 д.е. Продукция отправляется в пункты А, В, С, потребности которых равны 310, 390 и 450 единицам. Стоимости перевозок 1 ед. продукции заданы матрицей:

  .

Составьте оптимальный план перевозок продукции при условии, что коммуникации между заводом № 2 и пунктом А не позволяют пропускать в рассматриваемый период более 250 единиц продукции.

11. Животноводческая ферма имеет возможность закупать корма четырех видов по различным ценам. В кормах содержатся питательные вещества трех видов, необходимы для кормления коров. Составьте еженедельный рацион кормления коровы, обеспечивающий с минимальными затратами нормы содержания питательных веществ.

Данные, необходимые для составления рациона, приведены в следующей таблице (содержание веществ в кормах указано в килограммах на тонну):

12. Мощности завода позволяют произвести в текущем месяце ингредиенты для  производства удобрений в следующих количествах: 10 т нитратов, 15 т фосфатов и 12 т поташа. В результате смешения этих активных ингредиентов с инертными, запасы которых не ограничены, на заводе могут быть получены 4 типа удобрений.

Удобрение 1 содержит 5% нитратов, 10% фосфатов и 5% поташа.

Удобрение 2 содержит 5% нитратов, 10% фосфатов и 10% поташа.

Удобрение 3 содержит 10% нитратов, 10% фосфатов и 10% поташа.

Удобрение 1 содержит 10% нитратов, 5% фосфатов и 5% поташа.

Цены на удобрения соответственно 400, 500, 400 и 450 рублей за 1 т. Объем спроса практически не ограничен.

Стоимость производства 1 т нитратов 360 руб., фосфатов 240 руб. и поташа 200 руб. Инертные ингредиенты закупаются заводом по цене 100 руб. за тонну.

На текущий месяц завод уже заключил контракт на поставку 10 т удобрения 3.

Определить оптимальный план производства на текущий месяц.

13. На предприятии для производства запасных частей для автомобилей используются три вида ресурсов. Выпускаются три вида запасных частей. Организация производства на предприятии характеризуется следующей таблицей:

Составьте план производства запасных частей, обеспечивающий предприятию максимальную прибыль.

14. Имеются три специализированные мастерские по ремонту двигателей. Их производственные мощности равны соответственно 100, 700, 980 ремонтов в год. В пяти районах, обслуживаемых этими мастерскими, потребность в ремонте равна соответственно 90, 180, 150, 120, 80 двигателей в год. Затраты на перевозку  одного двигателя из районов к мастерским следующие:

Спланируйте количество ремонтов каждой мастерской для каждого из районов, минимизирующее суммарные транспортные затраты.

15. Нефтеперерабатывающий завод получает четыре полуфабриката: 400 тыс. л. алкилата, 250 тыс. л. крекинг-бензина, 350 тыс. л. бензина прямой перегонки и 100 тыс. л. изопентона. В результате смешивания этих четырёх компонентов в разных пропорциях образуется три сорта авиационного бензина: бензин А – 2:3:5:2, бензин В – 3:1:2:1, бензин С – 2:2:1:3. Стоимость 1 тыс. л. указанных сортов бензина равна 120 д.е., 100 д.е., 150 д.е., соответственно.

Составьте план выпуска разных сортов авиационного бензина из условия получения максимальной стоимости всей продукции.

16. Планируется нанесение удара по некоторому объекту тремя различными видами оружия: оружием А – в течение 3 мин., оружием Б – в течение 5 мин., оружием В – в течение 4 мин. Возможности средств обеспечения стрельбы таковы, что при применении оружия А в течение 3 мин., оружия Б в течение 2 мин., оружия В в течение 4 мин. общее количество залпов не должно превышать 15. При применении оружия А в течение 2 мин. и оружия В в течение 3 мин. общее количество залпов не должно превышать 8 ед. Кроме того, для преодоления противодействия противника  необходимо, чтобы количество залпов оружием В за 1 мин. было больше, чем 5 ед.

Рассчитайте темп стрельбы (количество залпов в 1 мин.) всеми видами оружия, при котором общее количество залпов в ударе будет наибольшим.

17.  Имеется 5 ракет и 5 целей. Вероятность поражения цели каждой из ракет задана в следующей таблице:

Распределите ракеты по целям так, чтобы математическое ожидание числа поражённых целей было максимальным.

18. Для участия в соревнованиях спортклуб должен выставить команду, состоящую из спортсменов I и II разрядов. Соревнования проводятся по бегу, прыжкам в высоту, прыжкам в длину. В беге должны участвовать 5 спортсменов, в прыжках в длину – 8 спортсменов, а в прыжках в высоту – не более 10. Количество очков, гарантируемых спортсмену каждого разряда по каждому виду, указано в следующей таблице:

Распределите спортсменов в команды так, чтобы сумма очков команды была наибольшей, если известно, что в команде I разряд имеют только 10 спортсменов.

19. Предприятию задана месячная программа на изготовление четырёх типов изделий в количествах соответственно 5000, 2000, 3000 и 1800 шт. На предприятии имеется три группы станков с различной производительностью. Суммарное допустимое время для каждой группы станков составляет соответственно 800, 1000, 1500 час. Данные о технологическом процессе указаны в следующей таблице:

Распределите изделия по станкам так, чтобы месячная программа была выполнена при наименьших издержках.

20. Звероферма выращивает чёрно-бурых лисиц и песцов. На звероферме имеется 10000 клеток. В одной клетке могут быть либо две лисы, либо 1 песец. По плану на ферме должно быть не менее 3000 лис и 6000 песцов. В одни сутки необходимо выдавать каждой лисе корма – 4 ед., а каждому песцу – 5 ед. Ферма ежедневно может иметь не более 200 000 ед. корма. От реализации одной шкурки лисы ферма получает прибыль 10 д.е., а от реализации одной шкурки песца – 5 д.е.

Какое количество лисиц и песцов нужно держать на ферме, чтобы получить наибольшую прибыль?

21. Найдите оптимальное распределение трёх видов механизмов, имеющихся в количествах 45, 20 и 35, между четырьмя участками работ, потребности которых соответственно равны 10, 20, 30, 40 при следующей матрице производительности:

.

22. Имеются 2 элеватора, в которых сосредоточено соответственно 4200 и 1200 т. зерна. Зерно необходимо перевезти трём хлебозаводам в количестве 1000, 2000 и 1600 т. каждому. Расстояние от элеватора до хлебозавода указано в следующей таблице:

Затраты на перевозку 1 т. продукта на 1 км составляют 25 д.е.

Спланируйте перевозку зерна из условия минимизации транспортных расходов.

23. Из двух сортов бензина образуются две смеси – А и В. Смесь А содержит бензина 60% 1-го сорта и 40% 2-го сорта; смесь В – 80% 1-го сорта и 20% 2-го сорта. Цена 1 кг смеси А – 10 д.е., а смеси В – 12 д.е.

Составьте план образования смесей, при котором будет получен максимальный доход, если в наличии имеется бензина 50 т 1-го сорта и 30 т 2-го сорта.

24. Имеются две почвенно-климатические зоны, площади которых соответственно равны 0,8 и 0,6 млн. га. Данные об урожайности зерновых культур приведены в следующей таблице:

Определите размеры посевных площадей озимых и яровых культур, необходимые для достижения максимального выхода продукции в стоимостном выражении.

25. Для полива различных участков сада, на которых растут сливы, яблони, груши, служат три колодца. Колодцы могут дать соответственно 180, 90 и 40 вёдер воды. Участки сада требуют для полива соответственно 100, 120 и 90 вёдер воды. Расстояния (в метрах) от колодцев до участков сада указаны в таблице:

Как лучше организовать полив?

26. Имеются три специализированные мастерские по ремонту двигателей. Их производственные мощности равны соответственно 200, 500, 880 ремонтов в год. В пяти районах, обслуживаемых этими мастерскими, потребность в ремонте равна соответственно 80, 110, 160, 130, 90 двигателей в год. Затраты на перевозку  одного двигателя из районов к мастерским следующие:

Спланируйте количество ремонтов каждой мастерской для каждого из районов, минимизирующее суммарные транспортные затраты.

27. Нефтеперерабатывающий завод получает четыре полуфабриката: 400 тыс. л. алкилата, 350 тыс. л. крекинг-бензина, 450 тыс. л. бензина прямой перегонки и 200 тыс. л. изопентона. В результате смешивания этих четырёх компонентов в разных пропорциях образуется три сорта авиационного бензина: бензин А – 2:3:4:2, бензин В – 3:2:2:1, бензин С – 2:2:1:3. Стоимость 1 тыс. л. указанных сортов бензина равна 120 д.е., 100 д.е., 150 д.е., соответственно.

Составьте план выпуска разных сортов авиационного бензина из условия получения максимальной стоимости всей продукции.

 28. Из двух сортов бензина образуются две смеси – А и В. Смесь А содержит бензина 70% 1-го сорта и 50% 2-го сорта; смесь В – 80% 1-го сорта и 20% 2-го сорта. Цена 1 кг смеси А – 10 д.е., а смеси В – 12 д.е.

Составьте план образования смесей, при котором будет получен максимальный доход, если в наличии имеется бензина 50 т 1-го сорта и 30 т 2-го сорта.

29. Имеются две почвенно-климатические зоны, площади которых соответственно равны 0,8 и 0,6 млн. га. Данные об урожайности зерновых культур приведены в следующей таблице:

Определите размеры посевных площадей озимых и яровых культур, необходимые для достижения максимального выхода продукции в стоимостном выражении.

30. Для полива различных участков сада, на которых растут сливы, яблони, груши, служат три колодца. Колодцы могут дать соответственно 120, 50 и 70 вёдер воды. Участки сада требуют для полива соответственно 100, 130 и 100 вёдер воды. Расстояния (в метрах) от колодцев до участков сада указаны в таблице:

Как лучше организовать полив?