Простые проценты

Задача 1) Вкладчик положил в банк 3000 руб., который выплачивает в год 6% (простых). Какая сумма будет на счету вкладчика а) через 3 месяца, б) через 1 год, в) через 2 года 5 месяцев, г) через 3 года 6 месяцев д) через 170 дней?

Задача 2) Какую сумму надо положить в банк, чтобы получить 60000 руб., если банк выплачивает в год 5% (простых),. а) через 4 месяца, б) через 6 месяца, в) через 1 год, г) через 1 года 6 месяцев, д) через 2 года 9 месяцев?

Задача 3) В банк было положено 150000 руб. Сколько процентов (простых) выплачивает банк в год? Если а) через 6 месяцев на счету было 180000 руб.; б) через 1 года 6 месяцев на счету было 260000 руб.; в) через 2 года 6 месяцев на счету было 270000 руб., г) через 1 года 9 месяцев на счету было 200000 руб., д) через 2 года 9 месяцев на счету было 270000 руб.

Задача 4) В банк, положили 60 000руб. Через сколько лет на счету будет 80 400 руб.? Если, банк выплачивает в год а) 6% простых, б) 4% простых, в) 5,5% простых, г) 7,3% простых, д) 9,25% простых.

Задача 5) Покупатель приобретает диван, который стоит 60000 руб.Он заплатил сразу 20000 руб., а на остальную сумму получил кредит, который должен погасить ежемесячными равными платежами. Чему равен каждый платеж? Если кредит выдан: а) на 1 год 6 месяцев под 4% годовых (простых); б) на 6 месяцев под 12% годовых (простых); в) на 2 год 9 месяцев под 5,6% годовых (простых); г) на 10 месяцев под 7% годовых (простых); д) на 16 месяцев под 11% годовых (простых);

Задача 6) Г-н Петров покупает в магазине холодильник, цена которого 55000 руб. На всю эту сумму он получает кредит, который должен погасить равными ежеквартальными платежами. Чему равен каждый платеж? Если магазин предоставляет кредит: а) на 1 год под 6% годовых (простых), б) на 2 года 3 месяца под 4,5% годовых (простых); в) на 3 года 6 месяца под 8,5% годовых (простых), г) на 2 года 6 месяца под 7,5% годовых (простых); д) на 3 года 3 месяца под 3,5% годовых (простых);?

Задача 7) Фермер приобрёл трактор, цена которого 1,6 млн.руб., уплатив сразу 15% и получив на остальную сумму кредит, который он должен погасить равными платежами по полугодиям. Чему равна каждая уплата? Если кредит выдан а) на 1 года 6 месяцев под 12% годовых (простых), б) на 2 года 4 месяцев под 9% годовых (простых), в) на 3 года 1 месяцев под 5,5% годовых (простых).г) на 1 года 9 месяцев под 8,5% годовых (простых). д) на 2 года 3 месяцев под 7,5% годовых (простых).

Задача 8) Банк выдал г-ну Федотову ссуду в 110000 руб. Какая сумма будет выдана господину Федотову на руки? Если ссуда выдана а) на 2 года под простой дисконт, равный 14% в год. б) на 1,5 года под простой дисконт, равный 10% в год. в) на 3,5 года под простой дисконт, равный 9% в год. г) на 2,5 года под простой дисконт, равный 8,9% в год. д) на 4,5 года под простой дисконт, равный 9% в год.

Задача 9) Г-н Афанасьев имеет вексель на 12000 руб., срок которого 1 июня. Какую сумму получит г-н Афанасьев за этот вексель? Если он его учтет  а) 1 апреля того же года в банке, б) 1 марта того же года в банке, в) 1 мая того же года в банке, простая учётная ставка которого 6%. Какую сумму получит г-н Афанасьев, если срок этого векселя г) 1 июня следующего года, д) 1 июня через 2 года, е) 1 июня через 3 года?

Задача 10) Какую прибыль получит банк в результате учёта 15 марта трёх векселей по 40000 руб. каждый, если срок оплаты первого векселя 20 августа, а двух других — 1 ноября того же года и учётная ставка этого банка равна а) 12%, б) 4%, в) 6%, г) 10%, д) 8%?

Задача 11) Клиент учёл 1 марта 2010 года вексель на сумму 60 000 руб., срок которого 1 июня того же года. Какова учётная ставка банка? Если он получил за него а) 45 670 руб.; б) 25 460 руб.; в) 55 170 руб.; г) 35 680 руб.; д)_57070 руб.

Задача 12) Авиакомпания приобрела самолёт за 18 млн.руб. Составить таблицу уменьшения стоимости самолёта по годам, считая уменьшение стоимости равномерным. Если, срок службы самолёта а) 7 лет.; б) 9 лет.; в) 11лет.; г) 12лет.; д) 6лет.

Задача 13) Г-н Петров должен выплатить господину Сидорову 40 000 руб. в следующие сроки: 5 000 руб. через 2 года, 10 000 руб. через 3 года и ещё 25 000 руб. через 5 лет, считая от настоящего момента. Г-н Петров предложил изменить контракт, обязавшись уплатить 20 000 руб. через 3 года и ещё 20 000 руб. через 4 го да от настоящего момента. Эквивалентны ли эти контракты, если на деньги начисляются а) 12%; б) 4%; в) 6%; г) 10%; д) 7% годовых (простых). Если контракты не эквивалентны, то какой из них выгоднее для г-на Сидорова?

Задача 14) Г-н Воронов приобрёл в кредит автомобиль, обязавшись выплачивать за него по 30 000 руб. каждый квартал в течение трёх лет. Через год, сделав четыре платежа, г-н Иванов пожелал сразу погасить оставшийся долг. Какую сумму он должен заплатить, если на деньги начисляются а) 12% годовых, б) 8% годовых; в) 14% год.; г) 13% год.; д) 18% годовых (простых); ?

Сложные проценты

Задача 1) В банк, начисляющий 6% годовых (сложных), клиент положил 80 000 руб. Какая сумма будет на счету этого клиента а) через 1 год, б) через 8 месяцев, в) через 4 года, г) через 6 лет 6 месяцев, д) через 5 лет 4 месяца, е) через 3 года 3 месяца?

Задача 2) Г-н Иванов может вложить деньги в банк, выплачивающий проценты по ставке j₆ = 10%. Какую сумму он должен вложить, чтобы получить 20000 руб. а) через 1 год, б) через 8 месяцев, в) через 4 года, г) через 6 лет 6 месяцев, д) через 5 лет 4 месяца, е) через 3 года 3 месяца?

Задача 3) Г-н Петров хочет вложить 30 000 руб., чтобы через 5 лет получить 40 000 руб. Какая процентная ставка j₁₂ должна быть? Если он рассчитывает вложить деньги на срок: а) 1 год, б) 8 месяцев, в) 4 года, г) 6 лет 6 месяцев, д) 5 лет 4 месяца, е) 3 года 3 месяца?

Задача 4) Через сколько лет 1 руб., вложенный в банк, выплачивающий проценты по ставке j₁ = 10% превратится в а) 1 млн.руб., б) 800т.р., в) 400 т.р., г) 6,6 млн.р., д) 5,4 т.р., е) 3,3 млн.р.?

Задача 5) Клиент вложил в банк 100000 руб. Какая сумма будет на счету этого клиента через 1 год, если банк начисляет проценты по ставке a) j₁ = 5%, б) j₆ = 5%, в) j₁₂ = 5%, г) j₃ = 4%, д) j₆ = 7%, е) j₁₂ = 3%?

Задача 6) Какую сумму надо положить в банк, выплачивающий непрерывные проценты по ставке j_∞ = 7%, чтобы через 10 лет на счету было:  а) 50000 руб., б) 1 млн.руб., в) 800т.р., г) 400 т.р., д) 6,6 млн.р., е) 54 т.р.?

Задача 7) Банк начислял на вложенные в него деньги проценты непрерывно по ставке в 2000 г. — 12%, в 2001 г. — 18%, в 2002 и 2003 гг. — 24%. Какая сумма будет на счету 31 декабря 2003 года, если 1 января 2000 года на этот счёт было положено а) 30000 руб.; б) 20000 руб.; в) 40000 р.; г) 35000р.; д) 54000 р., е) 33000 р.?

Задача 8) Г-н Петров имеет вексель на 15000 руб., который он хочет учесть 1 марта текущего года в банке по сложной учётной ставке, равной 7%. Какую сумму он получит, если срок векселя а) 1 июля того же года, б) 1 июля следующего года, в) 1 марта следующего года?

Задача 9) Банк выдаёт ссуду на 10 лет или под а) 12% год, б) 8% годовых; в) 14% год.; г) 13% год.; д) 18% годовых (сложных), или под простые проценты. Какую ставку простых процентов должен установить банк, чтобы полученный им доход не изменился?

Задача 10) Определить ставку сложных процентов i_c, эквивалентную ставке a) j₂ = 10%, б) j₆ = 10%, в) j₁₂ = 10%, г) j_∞ = 10%. д) j₁ = 10%, е) j₃ = 10%.?

Задача 11) Банк выплачивает на вложенные в него деньги 8% годовых (сложных). Какую ставку j_m должен установить банк, чтобы доходы клиентов не изменились, если a) m = 2, б) m = 6, в) m = 12, г) m = ∞, д) m = 3, е) m = 4?

Задача 12) Банк начисляет на вложенные в него деньги проценты по ставке j₄ = а) 6% год; б) 8% год; в) 10% год.; г) 12% год.; д) 14% год.; е) 4% год.; и обирается перейти к непрерывному начислению процентов. Какую силу роста должен установить банк, чтобы доходы клиентов не изменились?

Задача 13) Банк учитывает вексель за 60 дней до срока его оплаты по простой учётной ставке d_П = 6%. Какую сложную учётную ставку должен установить банк, чтобы доход банка не изменился?

Задача 14) Банк выплачивает по вкладам 6% годовых (сложных). Какова реальная доходность вкладов в этот банк, если начисление процентов делается а) по полугодиям, б) поквартально, в) ежемесячно, г) непрерывно, д) ежегодно, е) ежедневно?

Задача 15) Банк учитывает векселя по сложной учётной ставке а) 6% год; б) 8% год; в) 10% год.; г) 12% год.; д) 14% год.; е) 4% год.. Какова реальная доходность этой операции?

Современная ценность денег

Задача 1) Какова современная ценность 10000 руб., если эта сумма;

а) будет получена через 3 года 6 месяцев;

б)была получена 2 года 9 месяцев тому назад;

в) эта сумма получена в настоящий момент времени?

Стоимость денег — 8% (то есть на деньги, находящиеся в обороте, начисляются 8% годовых (сложных)).

Задача 2) Банк начисляет на вложенные в него деньги проценты по ставке j₄ = 6%. Какова современная ценность суммы денег в 25 000 руб., которая

а) была вложена в банк 5 лет 4 месяца тому назад;

б) будет вложена в банк через 1 год 8 месяцев;

в) будет вложена в банк через 2 год 4 месяцев;?

Задача 3) Г-н Сидоров положил в банк, выплачивающий проценты по годовой ставке i = 5% (сложных) сумму 12000 руб. Через 1 год 6 месяцев он снял со счёта 4 500 руб., а ещё через 2 года положил на свой счёт 2000 руб. После этого, через 3 года 6 месяцев он закрыл счёт. Какую сумму он получил?

Задача 4) Решить предыдущее упражнение при условии, что банк выплачивает проценты по ставке j₆ = 5%.

Задача 5) Г-н Иванов положил 3 года назад 5000 руб. в банк, выплачивающий проценты по ставке j₂ = 8%.  Год назад он положил ещё 2000 руб., а через 3 года 6 месяцев после этого снял со счёта 3500 руб. Ещё через 6 месяцев он желает положить на свой счёт такую сумму, чтобы ещё через год на счету было 10000 руб. Какую сумму он должен положить на свой счёт в последний раз?

Задача 6) Г-н Фёдоров положил в банк некоторую сумму. Через 2 года он положил на свой счёт такую же сумму, а ещё через 1 год 6 месяцев — снова такую же сумму. Через 2 года 6 месяцев после этого на его счету было 25 000 руб. Какую сумму вносил в банк г-н Фёдоров каждый раз, если банк начисляет на вложенные деньги проценты по годовой ставке j = 5%(сложных)?

Задача 7) Решить предыдущее упражнение, если банк выплачивает проценты по ставке j₁₂ = 5%

Задача 8) Фермер взял в банке кредит на сумму 5 млн. руб. под 8% годовых (сложных). Через год он вернул банку 3 млн. руб., а ещё через год взял кредит в сумме 2 млн. руб. Через 2 года после этого фермер вернул полученные кредиты полностью. Какую сумму он при этом выплатил банку?

Задача 9) Какую сумму надо положить в банк, выплачивающий проценты по ставке j₄ = 10%, чтобы иметь возможность снять со счёта 20000 руб. через 1 год 6 месяцев и еще 30000 руб. через 1 год 6 месяцев после этого?

Задача 10) Решите предыдущую задачу, приведя все суммы к моменту последнего изъятия денег.

Задача 11) Фермер приобрёл трактор, который стоит 2500000 руб. в кредит под 12% годовых (сложных). Через 1 год 6 месяцев он уплатил 1500000 руб., а ещё через 6 месяцев полностью погасил долг. Какую сумму он при этом выплатил?

Задача 12) Предприниматель взял в банке кредит в 12 млн. руб. под 15% годовых (сложных). Через 6 месяцев он вернул банку 4500000 руб, а ещё через 6 месяцев - 2500000 руб. Спустя 6 месяцев после этого он взял ещё ссуду в 3 млн. руб., и через 2 года с момента получения этой ссуды полностью погасил долг. Какую сумму составляет последняя уплата?

Задача 13) Строительный комбинат продаёт коттеджи стоимостью 8 млн. руб., предоставляя покупателям кредит под 12% годовых (сложных). Господин Иванов приобрёл коттедж. Он выплатил 2 млн. руб. через 3 месяца после покупки, 3 млн. руб. — ещё через 6 месяцев, 1 млн. руб. — в конце первого года с момента покупки и погасил весь долг через 1.5 года с момента покупки. Какую сумму составил последний платёж?

Задача 14) Г-н Петров приобрёл коттедж у строительного комбината из предыдущей задачи. Он выплатил в момент покупки 3 млн. руб., через год — 2 млн. руб., ещё через год — 2 млн. руб. и остаток долга погасил через 2.5 года от момента покупки. Чему равен последний платеж?

Задача 15) Покупатель обязался уплатить фермеру за купленное у него зерно 3500000 руб. через 2 месяца после покупки, 3000000 — ещё через 2 месяца и 5200000 — ещё через 3 месяца. Стороны договорились объединить эти платежи в один и выплатить его через 5 месяцев после покупки. Чему равен этот платёж, если на деньги начисляется 8% годовых?

Задача 16) Покупатель из предыдущего упражнения желает выплатить весь долг одним платежом, равным 12000000 руб.   В какой срок, считая с момента покупки, он должен это сделать?

Задача 17) Г-н А должен уплатить г-ну Б три раза по 25000 руб. через каждые полтора года от настоящего момента. Г-н А предложил заплатить 30000 руб. через 2 года, а остальное — ещё через 2 года. Какую сумму он должен уплатить в последний раз, если деньги стоят 9% годовых (сложных)?

Задача 18) Г-н Васильев купил у г-на Дмитриева автомобиль, подписав контракт, в соответствии с которым обязался уплатить 1500000 руб. через 8 месяцев после момента покупки и 2000000 руб. через 18 месяцев после момента покупки. Г-н Дмитриев желает продать этот контракт банку, получающему 6% годовых (сложных) на свои деньги. Какую сумму заплатит банк за этот контракт, если купит его в момент его заключения?

Финансовые ренты

Задача 1) Г-н Петров вкладывает 25000 руб. в конце каждого года в банк, выплачивающий проценты по ставке 5% годовых (сложных). Какая сумма будет на счету г-на Петрова а) через 3 года, б) через 10 лет?

Задача 2) Решите предыдущую задачу в предположении, что г-н Петров делает вклады в конце каждого квартала, и банк выплачивает проценты по ставке j₄ = 5%.

Задача 3) Г-н Сидоров хочет накопить за 6 лет 40000 руб., делая ежегодные равные вклады в банк, который выплачивает проценты по ставке i = 10% годовых (сложных). Какую сумму должен вкладывать ежегодно г-н Сидоров?

Задача 4) Решите предыдущую задачу в предположении, что г-н Сидоров делает ежемесячные вклады в банк, который выплачивает проценты по ставке j₁₂ = 5%.

Задача 5) Фермер образовал фонд для покупки техники, вкладывая в него ежегодно 300000 руб. При этом каждое полугодие он делает равные вклады в банк, который выплачивает 5% годовых (сложных). Какая сумма будет на счету фермера через 4 года?

Задача 6) Какую сумму должен вкладывать фермер из предыдущего упражнения ежегодно, если ему необходимо накопить за 4 года 2 млн. руб.?

Задача 7) Предприятие создаёт фонд для постройки нового здания, вкладывая в него каждые 4 года 15 млн. руб. Деньги кладутся в банк, выплачивающий 5% годовых (сложных). Какая сумма будет в фонде через 16 лет?

Задача 8) Какую сумму должно вкладывать в банк предприятие в условиях предыдущего упражнения, чтобы через 20 лет накопить 120 млн. руб., необходимых для постройки здания?

Задача 9) Г-н Фёдоров кладёт в конце каждого года 120000 руб. в банк, который выплачивает сложные проценты по ставке j₆ = 8%. Какую сумму накопит г-н Фёдоров за 10 лет?

Задача 10) Какую сумму должен класть в банк в конце каждого года господин Фёдоров из предыдущего упражнения, чтобы за 10 лет накопить 2 млн. руб.?

Задача 11) Г-н Фёдоров из упражнения 9 желает вносить в банк ежеквартально равные суммы (т.е. по 30000 руб.). Какую сумму он накопит за 10 лет?

Задача 12) Какую сумму должен вносить ежеквартально г-н Фёдоров из упражнения 11, чтобы за 15 лет накопить 3 млн. руб.?

Задача 13)   Банк выплачивает на вложенные в него деньги проценты по ставке j₄ = 3%. Клиент вкладывает в этот банк ежегодно 80000 руб., делая равные вклады в конце каждого квартала. Какая сумма будет на счету этого клиента через 5 лет?

Задача 14) Какую сумму должен вкладывать ежегодно клиент из предыдущего упражнения, чтобы за 6 лет накопить 600 000 руб.?

Задача 15) Банк на вложенные в него деньги начисляет непрерывные проценты по ставке (силе роста) 8%.  Клиент вкладывает в этот банк в конце каждого года 50 000 руб. Какая сумма будет на его счету через 7 лет 6 месяцев?

Задача 16) Клиент из предыдущего упражнения хочет вносить деньги по квартально равными взносами.  Какую сумму он накопит за 7 лет 6 месяцев?

Задача 17) Владелец мастерской вкладывает каждые 2 года по 1.5 млн. руб. в банк из упражнения 15, накапливая деньги для покупки оборудования. Какую сумму он накопит за 6 лет?

Задача 18) Какую сумму должен вкладывать владелец мастерской из упражнения 17, чтобы за 6 лет накопить 7 млн. руб.?

Задача 19) Фермер взял в банке 5 млн. руб. под 15% годовых на 5 лет. Для погашения долга он образовал страховой фонд, внося в него равные ежегодные взносы и получая на эти деньги 10% годовых. Найдите ежегодную срочную уплату по долгу.

Задача 20) Решите предыдущее упражнение при условии, что на деньги, вкладываемые в страховой фонд, начисляются 8% годовых.

Задача 21) Решите упражнение 19 при условии, что в фонд делаются равные ежегодные взносы и на них начисляются проценты по ставке j₄ = 10%.

Задача 22) Решите упражнение 19 при условии, что в фонд делаются равные ежеквартальные взносы и на них начисляются проценты по ставке 10% годовых. Найдите ежегодную срочную уплату.

Задача 23) Решите упражнение 19 при условии, что в фонд делаются равные ежеквартальные взносы, на которые начисляются проценты по ставке j₆ = 10% годовых. Найдите ежегодную срочную уплату.

Задача 24) Владелец магазина получил в банке ссуду 2 млн. руб. сроком на 3 года. Банк за ссуженные деньги взимает 12% в год. Одновременно владелец магазина создал страховой фонд для погашения ссуды, внося в него равные ежегодные взносы и получая на эти деньги проценты по ставке j₄ = 8%. Какова ежегодная срочная уплата по долгу?

Задача 25) Какова ежегодная срочная уплата владельца магазина из упражнения 24, если на деньги, внесённые в фонд, начисляются непрерывные проценты с силой роста 8%?

Задача 26) Г-н Иванов покупает нефтеносный участок, который будет приносить в течение 20 лет доход 5 млн. руб. ежегодно, после чего запасы нефти истощатся. Указанный господин желает получать 12% ежегодного дохода на вложенную сумму. Одновременно он образует страховой фонд, чтобы к моменту истощения запасов нефти на участке накопить сумму, которую он заплатил за этот участок. На деньги, вложенные в фонд, он получает 8% в год. Какую сумму г-н Иванов должен заплатить за участок?

Задача 27) Г-н Иванов из упражнения: 26 заплатил за участок 50 млн. руб. Какую сумму он должен ежегодно вносить в страховой фонд и каким будет его ежегодный чистый доход? Сколько процентов от вложенной суммы составит чистый годовой доход?

Современная ценность ренты

Задача 1) Какую сумму надо вложить в банк, выплачивающий 5% годовых, чтобы иметь возможность снимать в конце каждого года 50000 руб., исчерпав весь вклад к концу десятого года?

Задача 2) Решить предыдущее упражнение, если банк выплачивает проценты по ставке j₁₂=5%.

Задача 3) Решить упражнение 1, если банк выплачивает непрерывные проценты по ставке j₆ = 5%.

Задача 4) Какую сумму следует положить в банк, чтобы в течение следующих 10 лет получать ежегодно по 50000 руб., снимая эту сумму равными частями каждые 6 месяцев, если банк начисляет на вложенные в него деньги 5% годовых?

Задача 5) Решить предыдущее упражнение, если банк начисляет проценты по ставке j₆ = 6%.

Задача 6) Решить упражнение 4, если банк начисляет непрерывные проценты с силой роста S = 5%.

Задача 7) Какую сумму надо положить в банк, чтобы в течение следующих 26 лет иметь возможность снимать со счёта каждые два года по 100 тыс. руб., исчерпав весь счёт к концу этого срока, если банк начисляет на деньги, находящиеся на счёте, 10% годовых?

Задача 8) Решить предыдущее упражнение, если банк начисляет про центы по ставке j₂=10%.

Задача 9) Решить упражнение 7, если банк начисляет непрерывные проценты с силой роста S = 10%.

Задача 10) Перед выходом на пенсию г-н Фёдоров хочет обеспечить себе ежегодный доход в сумме 50000 руб. неограниченно долго. Какую сумму он должен положить для этого в банк, выплачивающий 5% годовых?

Задача 11) Решить предыдущее упражнение, если г-н Фёдоров желает снимать ежеквартально четверть годового дохода (т. е. по 12 500 руб.)

Задача 12) Решить упражнение 10, если г-н Фёдоров желает снимать деньги раз в 3 года (по 150000 руб.).

Задача 13) Решить упражнение 10, если банк выплачивает проценты по ставке j₆ = 5%.

Задача 14) Решить упражнение 10, если г-н Фёдоров желает снимать со счёта ежеквартально четверть годового дохода, и банк выплачивает проценты по ставке j6=5%.

Задача 15) Решить упражнение 10, если г-н Фёдоров желает снимать со счёта ежеквартально четверть годового дохода, и банк выплачивает проценты по ставке j₄=5%.

Задача 16) Решить упражнение 10,  если г-н Федоров желает снимать деньги раз в 3 года (по 150000 руб.), и банк выплачивает про центы по ставке j₆ = 5%.

Задача 17) Решить упражнение 10, если банк начисляет на деньги непрерывные проценты с силой роста S = 5%.

Задача 18) Решить упражнение 10, если г-н Фёдоров желает снимать со счёта ежеквартально четверть годового дохода, и банк начисляет на деньги непрерывные проценты с силой роста  S = 5%.

Задача 19) Решить упражнение 10, если г-н Фёдоров желает снимать деньги раз в 3 года (по 150000 руб.), и банк начисляет на деньги непрерывные проценты с силой роста S=5%.

Задача 20) Фермер приобрёл трактор в кредит за 12000000 руб. За кредит он должен платить 5% годовых и выплатить весь долг за 4 года. Найти размер ежегодной срочной уплаты и составить план погашения долга.

Задача 21) Составьте план погашения долга, описанного в предыдущем упражнении, если срочная годовая уплата установлена в раз мере 3 500 000 руб.

Задача 22) Составьте план погашения долга, описанного в упражнении 20, если фермер сделает 2 срочные уплаты: по одной каждые 2 года.

Задача 23) Господин Иванов купил в кредит автомобиль, который стоит 8000000 руб. Он обязался вернуть долг в течение года, делая равные ежемесячные срочные уплаты. Найти величину срочной уплаты и составить план погашения долга, если на долг магазин начисляет 10% годовых.

Задача 24) Составьте план погашения долга, описанного в предыдущем упражнении, если господин Иванов договорился с магазином, что он будет делать ежемесячные срочные уплаты величиной по 750 000 руб.

Задача 25) Владелец дома планирует произвести через 15 лет капитальный ремонт, на который ему потребуется 12 млн. руб. Он может ежегодно вкладывать для этой цели в банк 600 тыс. руб. Под какие проценты он должен вложить эти деньги, чтобы накопить необходимую сумму?

Задача 26) Г-н Петров собирается положить в банк на счёт своего сына 180 тыс.руб., чтобы тот в течение 5 лет учёбы в университете мог снимать в конце каждого года со счёта 40 тыс. руб., исчерпав весь вклад к концу учебы. Какой процент для этого должен платить банк?

Финансовые контракты

Задача 1) Фермер продал 5 т. картофеля магазину за 300000 руб., заключив контракт, по которому магазин обязался выплатить ему эту сумму равными ежемесячными выплатами в течение 6 месяцев. Желая получить деньги немедленно, фермер продал этот контракт банку, получающему на ссужаемые деньги проценты по ставке j₁₂ = 8%. Какую сумму заплатил банк фермеру за контракт?

Задача 2) Г-н Иванов приобрёл у строительной компании дом за 50 млн. руб., обязавшись оплатить его равными ежегодными платежами в течение 25 лет, выплачивая за долг 5% годовых. Компания желает получить деньги немедленно и продаёт этот контракт банку, который получает на ссуженные деньги 8% годовых. Сколько должен заплатить банк за этот контракт?

Задача 3) Фермер собирается купить трактор, который он может приобрести на одном из двух заводов. Первый завод продаёт трактор за 15 млн. руб. и требует 2 авансовых платежа по 2 млн. руб. каждый: первый — в момент заключения контракта на покупку, второй — через год после этого; поставка трактора осуществляется после второго авансового платежа. Кредит даётся на 4 года, считая с момента поставки трактора под 5% годовых и погашается единовременным платежом в конце срока кредита. Второй завод продаёт трактор за 18 млн. руб., требует один авансовый платёж в 3 млн. руб. в момент заключения контракта, поставляет трактор немедленно, как только сделан авансовый платёж; покупателю предоставляется кредит на 5 лет, начиная с момента покупки под 3% годовых, и погашается единовременным платежом в конце срока кредита. Какой контракт выгоднее для покупателя? Сравнение произведите по ставке сравнения i = 10%.

Задача 4) На сколько лет должен увеличить срок кредита второй завод из описанных в предыдущем упражнении, чтобы фермеру стало выгоднее купить трактор у него?

Задача 5) Покажите, что в условиях задачи 3 при уменьшении ставки процентов, начисляемых вторым заводом, выгодность контракта с этим заводом повышается, но даже если эти проценты вообще не начисляются, контракт с первым заводом остаётся для фермера выгоднее.

Задача 6) Фирма желает построить здание под офис. Она получила предложение от двух строительных организаций построить подходящее для неё здание. Первое здание стоит 20 млн. руб., строители требуют два авансовых платежа по 5 млн. руб.: первый - в момент заключения контракта, второй — через 2 года после этого; готовое здание сдаётся после второго авансового платежа и на оставшуюся сумму предоставляется кредит на 3 года под 6% годовых, который должен погашаться равными ежегодными платежами. Второе здание стоит 22 млн. руб., строители желают получить три авансовых платежа по 2 млн. руб.: первый — в момент заключения контракта, второй - через год и третий - ещё через год; готовое здание сдаётся после третьего авансового платежа и на оставшуюся сумму строители предоставляют фирме кредит на 5 лет под 4% годовых, который должен погашаться равными ежегодными срочными уплатами. Какой контракт выгоднее для фирмы? Сравнение произведите по ставке сравнения i = 10%.

Задача 7) Первая строительная организация из описанных в предыдущем упражнении, желая победить в конкурсе со второй организацией, увеличивает срок кредита до 5 лет. Одержит ли первая организация победу в конкурсе?

Задача 8) Первая из двух организаций, описанных в упражнении 6 изменяет контракт, требуя только один авансовый платёж в 10 млн. руб. через два года после заключения контракта в момент сдачи готового здания. Станет ли при этом контракт с первой организацией выгоднее для фирмы-заказчика, чем со второй?

Задача 9) Решите предыдущее упражнение, если первая организация требует только одного авансового платежа в 10 млн. руб. через год после заключения контракта.

Задача 10) Хозяин рыболовецкой организации ищет судостроительную фирму, которая может построить для неё судно. Поступили предложения от двух фирм. Обе берутся построить нужное судно за 2 года. Цена судна первой фирмы — 8 млн. руб., фирма требует четыре авансовых платежа по 1 млн. руб.: первый — в момент заключения контракта, второй — через полгода, третий — ещё через полгода и четвёртый — ещё через полгода; на остальную сумму в момент сдачи судна фирма открывает кредит на 2 года под 6% годовых, который должен погашаться равными срочными уплатами через каждые полгода. Вторая фирма требует за судно 10 млн. руб. и довольствуется одним авансовым платежом в 5 млн. руб. в момент сдачи судна; на оставшуюся сумму фирма предоставляет рыболовам кредит на 4 года под 5% годовых, который должен быть выплачен равными ежегодными срочными уплатами. Какой контракт выгоднее для рыбаков? Ставка сравнения = 10%.

Задача 11) Станет ли контракт со второй фирмой из предыдущего упражнения выгоднее, чем с первой, если в контракт со второй фирмой внести одно из следующих изменений:

а) срок кредита увеличивается до 8 лет;

б) проценты за кредит уменьшаются до 3% годовых;

в) цена судна уменьшается до 9 млн. руб.;

г) одновременно цена судна уменьшается до 9 млн. руб., а срок кредита увеличивается до 8 лет?

Задача 12) Банк выдал ссуду фермеру на 5 лет под 20% простых годовых. Какова доходность для банка этой операции, если

а) комиссионные не взимаются,

б) удерживаются комиссионные в размере 0.2% от суммы ссуды,

в) при условии б) срок ссуды 8 лет?

Задача 13) Банк выдал ссуду торговой организации на 2 года под сложные проценты по ставке j₄ = 12%. Какова доходность:

а) комиссионные не взимаются,

б) удерживаются комиссионные в размере 0.5% от суммы ссуды,

в) при условии пункта б) срок ссуды 3 года?

Задача 14) Банк учитывает вексель за 6 месяцев до срока его оплаты по простой учётной ставке d_n = 5%. Определить доходность этой операции для банка, если

а) комиссионные не удерживаются,

б) удерживаются комиссионные в размере 0.3% от суммы, выплачиваемой за вексель,

в) удерживаются комиссионные в размере 0.3% от суммы, выплачиваемой за вексель, и период времени до оплаты векселя — 9 месяцев?

Задача 15) Банк учитывает портфель, состоящий из 8 векселей по 50000 руб. каждый, погашаемых один за другим с интервалом в один месяц. Учётная ставка банка = 4% годовых простых. Какую сумму выплатит банк за этот портфель?

Задача 16) Решите предыдущее упражнение, если учётная ставка банка равна 7% годовых простых.

Задача 17) Какова доходность для банка операции, описанной в упражнении 15?

Задача 18) Какова доходность для банка операции, описанной в упражнении 16?

Задача 19) Банк учёл по ставке 4% годовых (простых) портфель, состоящий из 5 векселей, каждый по 100 тыс. руб., причём по каждому дополнительно выплачивается 6% годовых (простых), которые погашаются поквартально. Какую сумму выплатил банк за этот портфель?

Задача 20) Решите предыдущее упражнение, если учётная ставка банка равна 10% годовых (простых).

Задача 21) Какова доходность для банка операции, описанной в упражнении 19?

Задача 22) Какова доходность для банка операции, описанной в упражнении 20?

Задача 23) Домостроительная фирма продала дом за 12 млн. руб., предоставив покупателю потребительский кредит на 3 года, который должен быть погашен ежегодными равными выплатами. За кредит взимается 10% годовых (простых). Определить доходность этой операции для домостроительной фирмы.

Задача 24) Решите предыдущее упражнение, если кредит выдан а) на 5 лет, б) на 10 лет, в) на 20 лет. Как изменяется доходность потребительского кредита для кредитора с увеличением срока кредита?

Задача 25) При каком сроке (в целых годах) доходность потребительского кредита, описанного в упражнении 23, наибольшая?

Задача 26) Магазин продал автомобиль за 6 млн. руб., получив в момент продажи 2 млн. руб. и предоставив покупателю кредит на 4 млн. руб. под 8% годовых (простых), который покупатель должен погасить в течение трёх лет равными уплатами по полугодиям. Определить доходность этой сделки для магазина.

Задача 27) Решите предыдущее упражнение, если покупатель выплачивает кредит равными поквартальными уплатами. Как влияет частота уплат на доходность кредита для кредитора?

Задача 28) Решите упражнение 26 при условии, что срок кредита = 5 лет, и при условии, что срок кредита = 10 лет. Как влияет срок кредита на доходность операции для кредитора?

Задача 29) Докажите, что с ростом ставки процентов (простых), под которые предоставляется потребительский кредит, доходность кредита для кредитора возрастает.

Задача 30) В упражнении 28 кредитор, увеличивая срок кредита с трёх до пяти лет, увеличивает его доходность. На сколько он может уменьшить взимаемый за кредит процент, чтобы доходность сделки для него осталась такой же, какой она была до увеличения срока кредита, т. е. такой же, какой она была вычислена при решении упражнения 26?

Задача 31) Облигация куплена по курсу 90 и будет погашена через 8 лет после покупки. Купонные платежи выплачиваются один раз в год по ставке 6% годовых. Определите доходность этой покупки.

Задача 32) Решите упражнение 31, если купонные платежи выплачиваются четыре раза в год равными долями (при той же годовой ставке 6%).

Задача 33) Решите упражнение 31, если купонные платежи выплачиваются ежемесячно равными долями (при той же годовой ставке 6%).

Задача 34) Казначейство выпустило облигации. Номинальная цена каждой из них = 1000 руб. и срок — 15 лет. Ежегодно по облигациям выплачивается 5% купонных платежей (от номинальной цены облигации). Курс продажи облигаций равен 95. Дополнительные расходы по выпуску облигации равны 3% от её номинальной стоимости. Определите стоимость привлечения средств (цену кредита).

Страхование жизни

Задача 1) В России нормальный пенсионный возраст для мужчин – 60 лет, женщин – 55 лет. Накопительная часть пенсии рассчитывается как сумма пенсионных накоплений, деленная на 228 (точнее, это месячная пенсия для первого года). Рассчитайте размер взносов, которые надо вносить, соответственно, мужчине 25 лет и женщине 25 лет, чтобы обеспечить себе пенсию в размере 60 долларов в месяц в течение первого года. Считать, что пенсионные отчисления делаются ежемесячно в конце каждого месяца в равном размере и что инвестиционный доход на них начисляется с этого же момента по ставке 4% годовых.

Задача 2) Рассматривается страхование жизни на следующих условиях: страховая сумма выплачивается в конце года смерти и равна C в первые 10 лет и удваивается каждые 10 лет; премии вносятся в начале каждого года и тоже удваиваются каждые 10 лет. Выписать формулу для нетто-премии за первый год страхования для лица возраста x.

Задача 3) Условия полиса страхования жизни на 5 лет таковы: в случае смерти выплачивается сумма по риску смерти, равная $ 50 000, плюс сумма внесенных до этого момента брутто-премий (считать, что выплата производится в конце года смерти); в случае дожития до окончания срока страхования выплачивается сумма по риску дожития $10000. Премии вносятся в начале каждого года действия полиса и повышаются ежегодно на 20% по отношению к премии предыдущего года. Брутто-премии превышают нетто-премии на 12%. Для возраста застрахованного x=38 и ставки процента i=6% годовых найти нетто-премии за первый год.

Задача 4) Полис страхования жизни на 5 лет предусматривает выплату $ 25 000 в случае дожития до конца срока страхования и $ 100 000 в случае смерти (в конце года смерти). Премии вносятся в равном размере в начале каждого года действия  полиса. Найти нетто-премии для возраста застрахованного x=44 и процентной ставки i=6% годовых, пользуясь сглаженной таблицей смертности. Найдите резервы (по годам). Как изменится нетто-премия, если предполагать, что страховое возмещение по риску смерти выплачивается не в конце года смерти, а в момент смерти?

Задача 5) Работник некоторой компании поступил на работу в возрасте 35 лет. Сейчас ему 50 лет, его месячная зарплата равна 600 долларам. Будем приближенно считать, что взносы в пенсионный план вносятся в конце каждого проработанного года. Пенсионный возраст 65 лет; пенсия рассчитывается как 35% от средней зарплаты за последние 3 года перед выходом на пенсию. Найти нормальный платеж и актуарные обязательства для возраста x=50 согласно «обычному» unit-credit и projected unit-credit методам. Предполагать повышение зарплаты на 1% ежегодно, процентную ставку 5. Считать, что пенсия будет выплачиваться в начале каждого месяца; ...=9,83.

Задача 6) Работник некоторой компании, находящийся в возрасте 58 лет, имеет на пенсионном счете накопления в размере $ 19000. Предполагая, что он будет вносить пенсионные взносы в размере $ 400 в конце каждого проработанного года, т.е. начиная с возраста 59, найти размер его будущей пенсии. Пенсионный возраст равен 65, пенсия выплачивается в начале каждого месяца; считать стоимость аннуитета ...=8,67. Процентная ставка на стадии накопления равна 5% годовых. Предполагать, что:

(а) Пенсионная схема предусматривает наследование на стадии накопления.

(б) Пенсионная схема не предусматривает наследования на стадии накопления (является страховой).

Задача 7) Рассчитайте тариф по страхованию домашнего имущества согласно методике Росстрахнадзора от 8 июля 1993 г. № 02-03-36:

1. основную часть нетто-ставки на 100 руб. страховой суммы;

2. рисковую (гарантированную) надбавку при условии гарантии безопасности 0,95 и коэффициента, зависящего от гарантии безопасности – 1,645;

3. нетто-ставку на 100 руб. страховой суммы;

4. брутто-ставку на 100 руб. страховой суммы.

Исходные данные

Определите страховой взнос страхователя при условии, что страховая сумма равна 100 тыс. руб.

Задача 8) Исходные данные по одному из видов страхования имущества юридических лиц:

Исчислите:

1. основную часть нетто-ставки путем прогноза на основе модели линейного тренда;

2. рисковую надбавку, если вероятность, с которой собранных взносов хватит на выплаты страховых возмещений, равна 0,9, а коэффициент, зависящий от вероятности и числа анализируемых лет, - 1,984;

3. нетто-ставку на 100 руб. страховой суммы;

4. брутто-ставку на 100 руб. страховой суммы, если доля нагрузки в структуре тарифа равна 28%;

5. страховой взнос страхователя при условии, что страховая сумма равна 1500 тыс. руб.

Задача 9) Рассчитайте тарифную ставку по страхованию от несчастных случаев.

Исходные данные

Задача 10) Исходные данные по страхованию урожайности сельскохозяйственной культуры:

Рассчитайте:

1. среднюю убыточность за тарифный период (основную часть нетто-ставки);

2. рисковую надбавку с вероятностью 0,954;

3. нетто-ставку;

4. брутто-ставку при условии, что нагрузка в ней составляет 21%.

Задача 11) Для лица в возрасте 43 лет рассчитайте:

1. вероятность прожить еще год;

2. вероятность умереть в течение предстоящего года жизни;

3. вероятность прожить еще три года;

4. вероятность умереть в течение предстоящих трех лет;

5. вероятность умереть на четвертом году жизни в возрасте 47 лет.

Задача 12) Для лица, чей возраст – 42 года, рассчитайте вероятность:

1. умереть в течение предстоящего года жизни;

2. прожить еще три года;

3. умереть в течение предстоящих трех лет;

4. умереть на четвертом году жизни (в возрасте 46 лет).

Задача 13) Страхователь в возрасте 44 лет заключил договор страхования на случай смерти сроком на пять лет (норма доходности – 8%, страховая сумма – 20 тыс. руб., доля нагрузки – 9%).

Определите через коммутационные числа:

1. единовременную нетто-ставку, брутто-ставку и брутто-премию;

2. годовую нетто-ставку, брутто-ставку и брутто-премию.

Что выгоднее для страхователя: платить взносы единовременным платежом или по частям ежегодно?

Задача 14) Страховщик проводит страхование граждан от несчастных случаев. Вероятность наступления риска Р=0,05, средняя страховая сумма С_ср= 300 тыс. д.е., среднее страховое обеспечение В_ср=100 тыс. д.е., количество договоров К_о=5000. Доля нагрузки в тарифной ставке Но=30%, средний разброс страхового обеспечения К_ср=50 тыс. д.е. Определить тарифную ставку со 100 д.е. страховой суммы (брутто-ставку).

Задача 15) Произвести расчет брутто-ставки на дожитие по договору страхования человека в возрасте 50 лет (х=50) на срок 10 лет (n=10) со страховой суммы 100 д.е. Доля нагрузки в структуре тарифа 30% (Н₀=30%), процентная ставка в долях единицы 0,4.

Задача 16) По данным, опубликованным в статистическом сборнике «Экономическое обоснование и расчет средней тарифной ставки по добровольному медицинскому страхованию амбулаторного лечения», обращаемость работающего населения за амбулаторными услугами в год на 100 человек характеризуется следующим временным рядом, обладающим достаточно высокой статистической устойчивостью (коэффициент вариации менее 10%):

Здесь данные проведены за вычетом числа случаев ухода за больным. Определить среднее число страховых случаев, стоимость одного обращения, величину и структуру брутто-ставки.

Задача 17) Страховщик проводит страхование от несчастных случаев. Вероятность наступления страхового случая 0,04. Средняя страховая сумма 110 тыс. д.е. Среднее страховое возмещение 40 тыс. д.е. Количество заключенных договоров 6800. Доля нагрузки в тарифной ставке 22%. Среднее квадратическое отклонение 10 тыс. д.е. Определить тарифную ставку при гарантии безопасности 0,95.

Задача 18) Страховщик заключает договоры имущественного страхования. Вероятность наступления страхового случая Р=0,01. Средняя страховая сумма С_ср=800 тыс. д.е. Среднее страховое возмещение В_ср=575 тыс. д.е. Количество договоров К_д=12 000. Доля нагрузки в структуре тарифа Н_о=30%. Данные о разбросе возможных страховых возмещений при наступлении страхового случая отсутствуют. Определить брутто-ставку (тарифную ставку) на 100 д.е. страховой суммы.

Задача 19) Рассчитайте для лица в возрасте 46 лет:

1. вероятность прожить еще один год;

2. вероятность умереть в течение предстоящего года жизни;

3. вероятность прожить еще три года;

4. вероятность умереть в течение предстоящих трех лет.

Задача 20) Рассчитайте тарифную ставку при страховании профессиональной ответственности аудиторов.

Исходные данные

Задача 21) Рассчитайте нетто- и брутто-ставку по страхованию транспортных средств согласно методике Росстрахнадзора исходя из следующих данных:

Задача 22) Исходные данные по одному из видов страхования имущества физических лиц:

Исчислите:

1. основную часть нетто-ставки путем прогноза на основе модели линейного тренда;

2. рисковую надбавку, если вероятность, с которой собранных взносов хватит на выплаты страховых возмещений, равна 0,9, а коэффициент, зависящий от вероятности и числа анализируемых лет, - 1,984;

3. нетто-ставку на 100 руб. страховой суммы;

4. брутто-ставку на 100 руб. страховой суммы, если доля нагрузки в структуре тарифа составляет 26%;

5. страховой взнос страхователя при условии, что страховая сумма равна 100 тыс. руб.

Задача 23) Исходные данные по страхованию урожайности сельскохозяйственной культуры:

Рассчитайте:

1. среднюю убыточность за тарифный период (основную часть нетто-ставки);

2. рисковую надбавку с вероятностью 0,997;

3. нетто-ставку;

4. брутто-ставку при условии, что нагрузка в ней составляет 22%.

Задача 24) Рассчитайте тарифную ставку страхования одного из видов имущества юридических лиц с гарантией безопасности 0,98.

Исходные данные

Задача 25) Страховщик проводит страхование от несчастных случаев. Вероятность наступления страхового случая – 0,05. Средняя страховая сумма – 50 тыс. рублей. Среднее страховое возмещение – 30 тыс. рублей. Количество заключенных договоров – 6000. Доля нагрузки в тарифной ставке – 24%. Среднее квадратическое отклонение – 8 тыс. рублей.

Определите тарифную ставку при гарантии безопасности 0,95.

Задача 26) Определите брутто-ставку при страховании имущества юридических лиц на основе страховой статистики за 5 лет с учетом прогнозируемого уровня убыточности страховой суммы на следующий год (при заданной гарантии безопасности 0,9):