Задача 1.

Имеется информация по 10 регионам о среднедневной зарплате X (ден. ед.) и расходах на покупку продовольственных товаров в общих расходах Y (%):

1. Оцените коэффициенты линейной регрессии Y = b₀ + b₁X + e по методу наименьших квадратов.

2. Проверьте статистическую значимость оценок b₀, b₁, теоретических коэффициентов   b₀, b₁  при уровне значимости a = 0,05.

3. Рассчитайте 95%-ные доверительные интервалы для теоретических коэффициентов регрессии.

4. Спрогнозируйте долю расходов на покупку продовольственных товаров при средней зарплате X = 700 ден. ед. и рассчитайте 95% доверительный интервал для условного математического ожидания M(Y|X = 700).

5. Рассчитайте границы интервала, в котором будет сосредоточено не менее 95% возможных значений Y при X = 700.

6. Оцените, на сколько процентов изменятся расходы на покупку продовольствия, если среднедневная зарплата вырастет на 10 ден. ед.

7. Рассчитайте коэффициент детерминации R².

8. Рассчитайте F-статистику для коэффициента детерминации и оцените его статистическую значимость.

Задача 2.

Известны данные для 30 домохозяйств (в условных единицах) по доходам (X) и расходам (Y):

1. Оцените коэффициенты линейной регрессии Y = b₀ + b₁X + e по методу наименьших квадратов.

2. Примените тест Голдфелда-Квандта для изучения гипотезы об отсутствии гетероскедастичности остатков.

3. В случае гетероскедастичности остатков примените взвешенный метод наименьших квадратов, предполагая, что дисперсии отклонений  пропорциональны .

4. Определите, существенно ли повлияла гетероскедастичность на качество оценок в уравнении, построенном по обычному методу наименьших квадратов.

Задача 3.

Рассчитайте стандартные ошибки  коэффициентов модели линейной регрессии, если ,  .

Задача 4.

 Имеются следующие данные об остатках парной линейной регрессии (t–номер момента наблюдения)

Сделайте вывод о наличии или отсутствии автокорреляции, применив тест Дарбина-Уотсона.