5.1. Случайные процессы и их классификация

     Случайный процесс (СП) это некоторый процесс или явление, поведение которого в течение времени и результат заранее предсказывать невозможно. Примеры случайных процессов: динамика изменения курса валют или акций, выручка или прибыль организации с течением времени, объемы продаж товара и т.д.
     Если случайный процесс может изменить своё состояние только в строго определённый момент времени, то он называется процессом с дискретным временем.
     Если же смена состояния возможна в произвольный момент времени, то это СП с непрерывным временем.
     Если в любой момент времени СП представляет собой дискретную случайную величину (ее значение можно перечислить и выделить два соседних значения), то это процесс с дискретным состоянием.
     Если же в любой момент времени состояние может меняться непрерывно, плавно и нельзя выделить два соседних состояния, то это СП с непрерывным состоянием. 
     Таким образом, возможно 4 вида СП:
     1) СП с непрерывным временем и непрерывным состоянием (пример: температура воздуха в некоторый момент времени, изменяется плавно в любой момент времени).
     2) СП с непрерывным временем и дискретным состоянием (пример: число посетителей в магазине, изменяется кратно одному в любой момент времени).
     3) СП с дискретным временем и непрерывным состоянием (пример: динамика курса курс валюты, изменяется плавно в момент валютных торгов).
     4) СП с дискретным временем и дискретным состоянием (пример: число пассажиров в транспорте изменяется кратно одному и только в определенные моменты времени, на остановках).
     Рассмотрим некоторую систему S, в которой в данный момент времени t_о протекает СП. Этот процесс называется Марковским, если для любого момента времени t > t_о, поведение системы в будущем зависит только от того, в каком состоянии система находилась в данный момент времени при t=t_о, и никак не зависит от того, как, когда  и в каких состояниях она пребывала в прошлом при t<t_о. Другими словами, «прошлое» Марковского процесса никак не влияет на «будущее» (только через «настоящее»).

5.2. Потоки событий.

     Простейшим видом СП являются потоки событий. Потоком событий называется некоторая последовательность однотипных событий, которые происходят в случайные моменты времени (например, звонки по телефону, посетители магазина, автомобили, проезжающие перекресток и т.д.). Они относятся к СП с дискретным состоянием и непрерывным временем. Математически поток событий можно изобразить в виде случайных точек на оси времени.
     
     Если события в потоке происходят поодиночке, а не группами из нескольких событий, то такой поток называется ординарным. Поток событий называется потоком без последствий, если для любых непересекающихся интервалов времени style='color:red'> число событий в одном интервале никак не влияет на то, сколько и каким образом будут происходить события в другом интервале. Ординарный поток без последствия называется потоком Пуассона. Важнейшей характеристикой любого потока событий является его интенсивность – среднее число событий, произошедших в потоке за одну единицу времени . 
     С интенсивностью тесно связана величина , которая имеет смысл среднего интервала времени между двумя событиями. Если интервалы между соседними событиями есть случайные величины, которые независимы друг от друга, то такой поток событий называется потоком Пальма.
     Если интенсивность потока событий не зависит от времени , то такой поток называется стационарным. Если в потоке события происходят через равные интервалы времени, то он называется регулярным.
     Стационарный поток Пуассона называется простейшим потоком. В экономическом моделировании в основном используют потоки Пуассона, в том числе простейшие. Для них справедливы следующие теоремы:
     1) Число событий, произошедших в потоке Пуассона, есть случайная величина, распределённая по закону Пуассона. Вероятность того, что в потоке Пуассона с интенсивностью  за интервал времени (t₁; t₂) произойдёт ровно k событий, равна: 
      , где  .
     Если поток простейший , то .
     2) Интервал между событиями или время ожидания очередного события T в потоке Пуассона есть случайная величина, распределенная по показательному закону, т. е вероятность того, что следующее событие произойдет не ранее t, равна:
     .
     Если поток простейший, то 
     Пример: Магазин посещают в среднем 20 покупателей за час. Определить вероятность того, что: а) за 5 минут будет 2 покупателя; б) за 10 минут будет не менее 3 покупателей; в) за 3 минуты не будет ни одного покупателя.
     Решение. Выбрав за единицу времени 1 минуту, интенсивность пуассоновского потока покупателей магазина  (20 покупателей в час или 1/3 покупателя за минуту).
     а) k=2, t₁=0, t₂=5,
     
     б) k ≥3, t₁=0, t₂=10,  найдем вероятность события обратного события , что будет менее 3 покупателей ;
     .
     в) по второй теореме t=3, .

5.3. Марковский СП, с дискретным состоянием

     В моделировании вероятностных (стохастических) экономических систем очень часто используют Марковский СП. Рассмотрим СП с дискретным состоянием и непрерывным временем. Тогда все его состояния можно перечислить: S₁,S₂,…, S_n.
     Описать все возможные переходы между состояниями можно с помощью графа состояний.
     Граф состояний представляет собой упорядоченный граф, вершинами которого являются возможные состояния S_i и между двумя состояниями существует ребро - стрелка, если возможен непосредственный переход между состояниями.
     Например, магазин может пребывать в следующих состояниях:
     S₁- имеются клиенты, которые обслуживаются, 
     S₂ – клиентов нет, 
     S₃ – осуществляется прием товара, 
     S₄ – учет товара, который происходит иногда после его приема.
     Тогда работу магазина можно описать графом состояний
     
     Для расчета основных характеристик системы, необходимо знать вероятностные показатели при переходе между состояниями.
     Рассмотрим 2 состояния S_iи S_j. Интенсивностью переходного потока называется среднее число переходов из состояния S_i в состояние S_j за единицу времени, которое система проводит в состояние S_i. Если известно среднее времяT_ij, которое система проводит  в S_i до того как перейдет в S_j, то можно записать: .
     Интенсивности переходных потоковуказываются на графе состояний рядом с соответствующими стрелками. Главная задача в таких моделях состоит в определении вероятностей состояний , которые имеют смысл средней доли времени, которого система проводит в этом состоянии.
     Для нахождения вероятностей состояний составляется система уравнений
                             (*)
     Данную систему можно составлять по следующим правилам:
     1) Число уравнений в системе равно числу состояний.
     2) Каждое состояние S_j соответствует уравнению с номером j.
     3) В левой части каждого уравнения находится сумма интенсивностей (стоят над стрелками) для всех стрелок, входящих в состояние S_j умноженных на вероятности состояний, из которых выходят стрелки;
     4) В правой части уравнений находится сумма интенсивностей, выходящих  из S_j стрелок, эта сумма умножается на вероятность P_j.
     Однако система уравнений (*) является вырожденной и для нахождения единственного решения в этой системе, одно любое уравнение нужно заменить на условие нормировки: 
     .
     Пример 1: Автоматизированная сборочная линия предприятия в среднем 1 раз в месяц выходит из строя и ремонтируется в среднем 3 дня. Кроме того в среднем 2 раза в месяц она проходит техническое обслуживание, которое длиться в среднем 1 день. В среднем в одном случае из трех при техническом обслуживании обнаруживается неполадка и линия ремонтируется. Определить, какую среднюю прибыль приносит линия за месяц, если за один день безотказной работы прибыль равна 15 тысяч рублей. Один день технической обработки обходится в 20 тысяч рублей, а один день ремонта – 30 тысяч рублей.
     Решение. Найдем вероятности состояний, равные долям времени работы, ремонта и технического обслуживания. Пусть:
     S₁ - линия работает,
     S₂- техническое обслуживание,
     S₃- ремонт. 
     Граф состояний будет иметь вид:
     
     Составляем систему уравнений. В состояние S₁ входят 2 стрелки: из S₂ с интенсивностью 20 и из S₃ с интенсивностью 10, поэтому левая часть первого уравнения имеет вид: . Из состояния S₁ выходят две стрелки с интенсивностями 2 и 1, поэтому правая часть первого уравнения системы примет вид: . Аналогично, на основании состояний S₂ и S₃ составляем второе и третье уравнения. В результате, система будет иметь вид:
     
     Однако, данная система является вырожденной и для ее решения нужно заменить одно любое (например, первое) уравнение условием нормировки: . В результате, получаем систему:
     
     Выражаем из 1-го и 2-го уравнений Р₁ и Р₃ через Р₂: , и подставляя результат в 3-е уравнение, находим:, , .  Умножаем вероятности на 30 дней месяца и находим, что в среднем в месяц линия работает 24,3 дня, техническое обслуживание – 1,6 дней, ремонт – 4,1 дня. Отсюда следует, что средняя прибыль будет 24,3×15-1,6×20-4,1×30=209,5 тыс.руб.
     Пример 2: В туристическом агентстве работает продавец и менеджер. В среднем в агентство приходят 2 клиента за час. Если продавец свободен, он обслуживает клиента, если – занят, то клиента обслуживает менеджер, если оба заняты – клиент уходит. Среднее время обслуживания продавцом 20 минут, менеджером – 30 минут. Каждый клиент приносит среднюю прибыль 100 рублей.
     Определить среднюю прибыль агентства за 1 час, и среднее число упущенных клиентов за час. 
     Решение. Определяем состояния системы: 
     S₁ – продавец и менеджер свободны,
     S₂ – продавец занят, менеджер свободен,
     S₃ – продавец свободен, менеджер занят,
     S₄ – оба заняты.
     Строим граф состояний:
     
     Составляем систему уравнений, заменяя 4-е уравнение условием нормировки: 
     
     Решая систему уравнений, находим: 
     .
     Следовательно, продавец занимается обслуживанием P₂+ P₄=0,25+0,15=0,4, то есть 40% времени. Если бы он обслуживал 100% времени, то за час обслуживал бы 3-х клиентов, а реально: 3 ×0,4=1,2  и приносит прибыль за 1 час 120 рублей. Менеджер работает P₃+ P₄=0,11+0,15=0,26, т.е 26% времени и поэтому за час обслужит 2 ×0,26=0,52  клиента и приносит прибыль 52 рубля в час. Средняя прибыль за 1 час составит 172 рубля. Клиенты теряются в состоянии S₄. Так как P₄=0,15, то в час теряется 15 % клиентов из 2-х возможных или 0,3 клиента. Убытки составляют 30 рублей в час из-за потерянных клиентов.

5.4. Процессы гибели и размножения.

     Во многих  экономических системах, в которых функционирует СП, возникают ситуации, когда из любого (кроме первого и последнего) состояния S_i возможен переход только в соседние состояния S_i+1 и S_i-1. такие процессы называются процессами гибели и размножения и они описываются графом состояний.
     
     Интенсивности  называются интенсивностями размножения, а m_i – интенсивности гибели. Для нахождения вероятности каждого состояния используются формулы:
     ,                (+)
     ,  , …, .
     Пример 5.1. В автохозяйстве 5 автомобилей. Каждый из них в среднем 4 раза в год ломается и ремонт длиться в среднем 1 месяц. Определить, какую долю времени все автомобили исправны и среднее число исправных автомобилей в произвольный момент времени.
     Решение. Вводим состояния системы:
     S₀ – все автомобили сломаны,
     S₁ – 1 автомобиль исправен,
     S₂ – 2 автомобиля исправны,
     S₃ – 3 автомобиля исправны,
     S₄ – 4 автомобиля исправны,
     S₅ – 5 автомобилей исправны.
       Построим граф состояний и расставим переходные интенсивности. 
     Например, для перехода из S₁ в S₀ имеем ситуацию: исправен 1 автомобиль и он ломается, это происходит 4 раза в год, т.е. интенсивность равна 4. Для перехода из S₂ в S₁: исправны 2 автомобиля и каждый из них ломается 4 раза в год, т.е. интенсивность равна 8. Остальные интенсивности гибели расставляются по аналогии. 
     Для перехода из S₄ в S₅ имеем ситуацию: неисправен 1 автомобиль и он ремонтируется, это длится 1 месяц или 12 раз в год, т.е. интенсивность равна 12. Для перехода из S₃ в S₄ имеем ситуацию: неисправны 2 автомобиля и каждый из них может быть отремонтирован с интенсивностью 12, т.е. общая интенсивность равна 24. Остальные интенсивности размножения расставляются по аналогии. 
     
     Вычисляем по формулам (+) вероятности состояний, равные средней доли времени нахождения системы в этих состояниях.
     
     , = 0,088,   , ,   
     Все автомобили исправны в состоянии S₅, средняя доля времени, когда автомобили исправны – 0,24. Среднее число исправных автомобилей находится как математическое ожидание: 
     
     Пример 5.2. Организация принимает заявки от населения на проведение ремонтных работ. Заявки принимаются по телефону, по двум линиям и их обслуживают два диспетчера. Если одна линия занята, заявка автоматически переключается на вторую. Если обе линии заняты – заявка теряется. Среднее число обслуживания одной заявки – 6 минут. В среднем одна заявка приносит прибыль в 30 рублей. Какова прибыль за час? Целесообразно ли организовывать третий канал с третьим диспетчером, если его обслуживание обойдётся в 150 рублей в час?  
       Решение. Рассмотрим сначала систему с двумя каналами. 
     Введем возможные состояния:
     S₀ – нет заявок (оба телефона свободны),
     S₁ – одна заявка обслуживается (один телефон занят),
     S₂ – две заявки обслуживаются (оба телефона заняты).
       Граф состояний будет иметь вид:
      
           Находим вероятности состояний. По приведенным формулам (+):
     
     В среднем, за час теряется 54% заявок или 0,54 ×30 = 16,2 заявки. Обслуживается 13,8 заявок в час и средняя прибыль 13,8 ×30 = 414 рублей.
     Рассмотрим теперь ситуацию с тремя линиями. В этом случае три оператора обслуживают 3 телефонные линии, и поступающий звонок приходит на любую свободную линию. Возможны следующие состояния: 
     S₀ – нет заявок (три телефона свободны),
     S₁ – одна заявка обслуживается (один телефон занят),
     S₂ – две заявки обслуживаются (два телефона заняты),
     S₃ – три заявки обслуживаются (все телефоны заняты).
    
     По формулам (+) находим вероятности состояний:
     ,
     .
     В среднем теряется 35% заявок или 10,4 заявки в час. Обслуживается 19,6 заявок. Средняя прибыль – 588 рублей в час. Прибыль выросла на 174. При затратах 150 рублей в час, третий канал обслуживания вводить целесообразно.