Непрерывность функции в точке

Определение 21 (непрерывность функции в точке).Функция 
f(x) называется непрерывной в точке a, если

Дадим определение непрерывной функции в точке на "языкеe–d " (ср. с определением предела по Коши.)

Определение 22 (непрерывность функции по Коши).Функция f(x) называется непрерывной в точке a, если " e > 0 $ d(e)>0: " x удовлетворяющих условию |x-a|< d, выполнено неравенство
|f(x)-f(a)|< e

Замечание. Если a – изолированная точка множества E, то есть точка, что в некоторой окрестности этой точки нет других точек множества E, кроме точки a, то U(a) = a. Следовательно, f(U(a)) = f(a)М U(f(a)), " U(f(a)). Таким образом, в любой изолированной точке функция непрерывна. Поэтому содержательная часть понятия непрерывности относится к случаю, когда a- предельная точка множества E.

Из определения непрерывной функции следует, что

Приведем еще одно определение непрерывной функции.

Определение 23 (непрерывность "на языке приращений"). 
Функция называется непрерывной в точке a, если выполнено условие

Пример 20. Функция f(x) = sin x непрерывна на R. Действительно,

Пример 21. Любая последовательность f:N® R есть функция, непрерывная на множестве N, так как каждая точка множества N является его изолированной точкой.

Точки разрыва

Пример 22. Исследовать на непрерывность

Определение 24. Точка a называется точкой разрыва функции f(x), если эта функция не является непрерывной в данной точке.

Записав отрицание определения непрерывной функции, получим определение точки разрыва:

Определение 25 (точки разрыва). a - точка разрыва f, если

Различают точки разрыва первого рода (когда существуют конечные односторонние пределы функции слева и справа при x® a, не равные друг другу) и второго рода (когда хотя бы один из односторонних пределов слева или справа равен бесконечности или не существует). Так в примере на рис. 15 x = 0 является точкой разрыва первого рода. К точкам разрыва первого рода относятся точки устранимого разрыва, когда предел функции при x® a существует, но в точке a функция либо неопределена, либо f(a)№ lim x® af(x).

Замечание. В точке устранимого разрыва функцию f(x) можно доопределить так, чтобы она стала непрерывной, положив 
f(a) = lim_x® af(x).

Пример 23.

Пример 24. Функция Дирихле разрывна во всех точках и все точки разрыва второго рода, так как на любом интервале есть рациональные и иррациональные числа.

Свойства функций, непрерывных в точке

Теорема 9 (локальные свойства непрерывных функций).

1. Пусть функция f:E® R непрерывна в точке a. Тогда f(x) ограничена в некоторой окрестности точки a.
2. Пусть функция f(x) непрерывна в точке a и f(a)№ 0, то в некоторой окрестности точки a все значения функции положительны или отрицательны вместе с f(a).
3. Если f(x), g(x) - непрерывны в точке a, то функции: f(x)+g(x), f(x)g(x), f(x)/g(x) (при g(a)№ 0 ) непрерывны в точке a.
4. Если функция g(x):Y® R непрерывна в точке bО Y, а функция f:E® Y непрерывна в точке a, f(a) = b, тогда композиция g_° f также непрерывна в точке a.

Данная теорема следует из определения непрерывности функции и соответствующих свойств предела функции.

Глобальные свойства непрерывных функций

Определение 26 (непрерывность функции на множестве). 
Функция называется непрерывной на множестве, если она непрерывна в каждой точке множества.

То, что f(x) непрерывна на множестве X обозначается следующим образом: f(x)О C_X.

Определение 27. Функция называется непрерывной на отрезке [a,b] , если она непрерывна в каждой внутренней точке этого отрезка и непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b.

То, что f(x) непрерывна на отрезке [a,b] обозначается следующим образом: f(x)О C_[a,b].

Перечислим основные глобальные свойства непрерывных функций.

Теорема 10 (глобальные свойства непрерывных функций).

1. (Первая теорема Вейерштрасса) Если функция f(x)ОC_[a,b], то она ограничена на [a,b] (см. рис. 18).

   
   

2. (Вторая теорема Вейерштрасса) Если f(x)О C_[a,b], то она достигает на [a,b] своих точных верхней и нижней граней(рис. 19)

   
   

3. (Теорема Коши) Если f(x)О C_[a,b] и f(a)f(b)<0, то существует cО [a,b] f(c) = 0 (см.рис. 20).

   
   

Замечание.

1. Функции, не являющиеся непрерывными на данном отрезке, могут принимать точную верхнюю и точную нижнюю грани, например функция Дирихле.
2. Если в условиях теоремы отрезок заменить на интервал, то теорема будет неверна, например, функция 1/x на интервале (0,1) непрерывна, но не является ограниченной; функция y = x на интервале (0,1) не достигает своих точных граней.

Пример 25. Исследовать на непрерывность в точке x = 0 и установить характер разрыва функции в этой точке:

1. f(x) = 1/(1+2^1/x)

   Решение.

   lim_x® -01/(1+2^1/x) = 1
   lim_x® +01/(1+2^1/x) = 0,так какlim_x® +02^1/x = Ґ, lim_x® -02^1/x = 0.Следовательно, f(x) в точке x = 0 имеет разрыв первого рода.

2. f(x) =

   м (1/5)(2x2+3), при -Ґ<xЈ 1, н 6-5x, при 1<x<3, о x-3, при 3Ј x<Ґ

   Решение. Заметим, что на интервалах (-Ґ,1), (1,3), (3,Ґ) функция непрерывна. Поэтому разрывы возможны лишь в точках x = 1, x = 3, в которых изменяется аналитическое задание функции.

   lim_x® 1-01/5(2x2+3) = 1;
   lim_x® 1+0(6-5x) = 1;
   f(1) = 1.Таким образом в точке x = 1 функция непрерывна. Так какlim_x® 3-0(6-5x) = -9;
   lim_x® 3+0(x-3) = 0,то точка x = 3 - точка разрыва первого рода.

1. f(x) =

   м e1/x, при x№ 0, н о 0, при x = 0;

2. f(x) = E(x)- целая часть числа;
3. f(x) = arctg 1/(x-5) в точке a=5;

4. f(x) =

   м x+2, при x<2, н о x2-1, при xі 2.