Рассмотрим простейшие модели производства и потребления. Модели производства строятся с помощью производственных функций, а модели потребления на основе целевой функции потребления.

Производственные функции и их характеристики

     Простейшую модель производства можно представить как некоторую систему, перерабатывающую различные виды ресурсов в готовую продукцию.
     
     В качестве ресурсов могут выступать:

1. сырье;
2. трудовые затраты;
3. энергозатраты;
4. научно-исследовательские ресурсы;
5. технологические ресурсы;
6. транспортные ресурсы и др.

     Производственной функцией называется зависимость между объёмом произведённой продукции у, и затратами различных видов ресурсов, необходимых для выпуска этой продукции :
     .
     На практике для упрощения модели часто используют двухфакторную производственную функцию , включающую два вида ресурсов: 
     1. материальные , включающие затраты сырья, энергии, транспортные и др. ресурсы; 
     2. трудовые ресурсы . 
     Производственная функция должна удовлетворять ряду требований:
     1. Без затрат ресурсов нет выпуска: f(0,0)=0.
     2. С увеличением затрат любого из ресурсов выпуск растёт, т.е. производственная функция должна быть возрастающей по любому из факторов.
     3. Закон убывания эффективности: при одних и тех же абсолютных увеличениях затрат любого из ресурсов Δх прирост объёма производства Δу тем меньше, чем больше выпуск продукции. Другими словами, производственная функция должна быть выпуклой по каждому аргументу.
     Зная производственную функцию, можно рассчитать ряд числовых характеристик. Рассмотрим основные из них.
     1. Средней производительностью по каждому ресурсу называются величины:
     , ,
     которые имеют смысл среднего выпуска продукции из расчета единичных затрат данного ресурса.
     Если   - материальные затраты, а   - трудовые, то A₁ называется капиталоотдачей, а А ₂ - называетсяпроизводительностью труда.
     2. Предельной или маржинальной производительностью по каждому ресурсу называются величины:
     ,     .
     Эти величины показывают приближённо на сколько единиц изменится выпуск, если затраты того или иного ресурса изменятся на единицу: .
     3. Частной эластичностью по каждому ресурсу называются величины: 
     
     Эластичности приближенно показывают на сколько процентов изменится выпуск, если затраты того или иного ресурса изменятся на один процент: .
     Величина  называется полной эластичностью или эластичностью производства.
     4. Технологической нормой замены называется величина , которая приближенно показывает как изменится выпуск, если единицу одного ресурса заменить единицей другого. 
     ПРИМЕР. Производственная функция имеет вид . Найти средние и предельные производительности, эластичности, технологическую норму замены.
     Решение. 
     Средние производительности равны: 
     
     Предельные производительности равны: 
     
     Эластичности равны:
     
     Технологическая норма замены есть 
     .

Линейная и Кобба-Дугласа производственные функции

     На практике при моделировании реальных производств чаще всего используют два вида производственных функций: линейная и Кобба-Дугласа.
     Линейная производственная функция имеет вид: 
     .
     Она строится в случаях, когда объем выпуска пропорционален затратам. Однако данная функция не удовлетворяетпервому и третьему требованиям к производственным функциям, поэтому ее можно использовать для приближения реальных функций на небольших локальных участках изменения их аргументов (см. рисунок). Для выполнения второго требования необходимо выполнение условий .
     Производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид: 
     .
     Для выполнения всех требований к производственным функциям необходимо выполнение условий: 
     Найдем средние и предельные производительности, эластичности, технологическую норму замены для линейной и Кобба-Дугласа производственных функций. 
     Для линейной функции  будет:
     
     
      
     Таким образом, коэффициенты а₁ и а₂ линейной производственной функции имеют смысл предельных производительностей и их можно вычислять по формулам:
     .                                     (6.1)
     Для производственной функции Кобба-Дугласа  будет:
     
     
     
     
     Таким образом, коэффициенты а₁ и а₂ производственной функции Кобба-Дугласа имеют смысл частных эластичностей и их можно вычислять по формулам:
                                           (6.2)
     Пример. Некоторое предприятие, затрачивая для производства 65 единиц материальных затрат и 17 трудовых, выпускало 120 единиц продукции. В результате расширения и увеличении материальных затрат до 68 единиц выпуск возрос до 124 единиц, а при увеличении трудозатрат до 19 единиц выпуск вырос до 127 единиц. Составить линейную производственную функцию и функцию Кобба-Дугласа. 
     Решение. 

Целевая функция потребления

     В условиях рыночной системы управления производственной и сбытовой деятельностью предприятий и фирм в основе принятия хозяйственных решений лежит рыночная информация, а обоснованность решений проверяется рынком в ходе реализации товаров и услуг. При таком подходе начальным пунктом всего цикла предпринимательской деятельности становится изучение потребительского спроса. Рассмотрим некоторые вопросы моделирования спроса и потребления.
     Рассмотрим потребителя, который в результате своего существования потребляет некоторые блага. Уровень удовлетворения потребностей потребителя обозначим через U. Предположим, что имеется n видов благ Б₁, Б₂,…, Б_n. В качестве благ могут выступать: 
     - продовольственные товары;
     - товары первой необходимости;
     - товары второй необходимости;
     - предметы роскоши;
     - платные услуги и т.д.
     Пусть количество потребления каждого блага равно х₁, х₂ ,…, х_n. Целевой функцией потребления называется зависимость между степенью (уровнем) удовлетворения потребностей U и количеством потребляемых благ: х₁, х₂ ,…,х_n. Эта функция имеет вид: . 
     В пространстве потребительских благ каждому уравнению  соответствует определенная поверхность равноценных, или безразличных, наборов благ, которая называетсяповерхностью безразличия. Гиперповерхность такой кривой, называемой многомерной поверхностью безразличия, можно представить в виде: , где С - константа. Для наглядности рассмотрим пространство двух благ, например, в виде двух агрегированных групп товаров: продукты питания Б₁ и непродовольственные товары, включая платные услуги Б₂. Тогда уровни целевой функции потребления  можно изобразить на плоскости в виде кривых безразличия, соответствующих различным значениям  константы С. Для этого выражают количество потребления одного блага х₁через другое х₂. Рассмотрим пример. 
     Пример. Целевая функция потребления имеет вид: . Найти кривые безразличия. 
     Решение. Кривые безразличия имеют вид , или  или   (при этом следует отметить, что должно выполняться ). 
     Каждый потребитель стремится максимизировать уровень удовлетворения потребностей, то есть . Однако, максимизации степени удовлетворения потребностей будут мешать возможности потребителя.  Обозначим цену на единицу каждого блага через р₁, р₂ ,…, р_n, а доход потребителя через D. Тогда должно выполняться бюджетное ограничение, имеющее смысл закона, согласно которому затраты потребителя не должны превышать сумму дохода: 
     .
     В результате, для нахождения оптимального набора благ необходимо решать задачу оптимального программирования:
                               (6.3)
     Рассмотрим двухфакторную функцию потребления , где х₁ – объем потребления продуктов питания и х₂. – потребление непродовольственных товаров и платных услуг. Кроме того, предположим, что весь доход потребитель направляет на удовлетворение своих потребностей. В этом случае бюджетное ограничение будет содержать только два слагаемых и неравенство превратиться в равенство. Задача оптимального программирования при этом примет вид:
                                          (6.4)
                     Геометрически оптимальное решение имеет смысл точки касания кривой безразличия линии, соответствующей бюджетному ограничению.
     Из бюджетного ограничения системы (8.4) можно выразить переменную . Подставив это выражение в целевую функцию, получаем функцию одной переменной , максимум которой можно найти из уравнения, приравняв производную к нулю: . 
     Пример. Целевая функция потребления имеет вид: . Цена на благо Б₁ равна 20, цена на благо Б₂равна 50. Доход потребителя составляет 1800 единиц. Найти кривые безразличия, оптимальный набор благ потребителя, функцию спроса на первое благо по цене, функцию спроса на первое благо по доходу.
     Решение. Кривые безразличия имеют вид: 
     .
     Получаем множество гипербол расположенных в первой координатной четверти и расположенных на разном расстоянии от начала координат в зависимости от значения константы С.
     Находим оптимальный набор благ. Задача оптимального программирования имеет вид: 
     
     Для ее решения выражаем их бюджетного ограничения  одну переменную через другую: . Подставляем в целевую функцию: 
     
     Находим производную и приравниваем ее к нулю:
     
     Получаем . 
     Таким образом, оптимальный набор благ составляют 30,5 и 23,8 единиц. Находим теперь функцию спроса на первое благо по цене на него. Для этого в бюджетном ограничении  вместо фиксированного значения вводим цену первого блага , получая уравнение: . Выражаем . Подставляем в целевую функцию: 
     
     Находим производную и приравниваем ее к нулю:
     
     или  , откуда находим функцию спроса на первое благо по цене: .
     Находим теперь функцию спроса на первое благо по доходу. Для этого выражаем из бюджетного ограничения  одну переменную через другую: . Подставляем в целевую функцию: 
     
     Находим производную и приравниваем ее к нулю:
      Отсюда находим функцию спроса на первое благо по доходу:
     .